Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x \right)={{x}^{3}}+\left({{m}^{2}}+1 \right)x+{{m}^{2}}-2$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ 0; 2 \right]$ bằng 7.
A. $m=\pm 1$
B. $m=\pm \sqrt{7}$
C. $m=\pm \sqrt{2}$
D. $m=\pm 3$
A. $m=\pm 1$
B. $m=\pm \sqrt{7}$
C. $m=\pm \sqrt{2}$
D. $m=\pm 3$
Phương pháp:
Xét hàm số $f\left(x \right)={{x}^{3}}+\left({{m}^{2}}+1 \right)x+{{m}^{2}}-2$ trên $\left[ 0; 2 \right]$ ta có: $f'\left(x \right)=3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1>0\forall m$
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow \underset{\left[ 0; 2 \right]}{\mathop{Min}} f\left(x \right)=f\left(0 \right)=7$
Cách giải:
Xét hàm số $f\left(x \right)={{x}^{3}}+\left({{m}^{2}}+1 \right)x+{{m}^{2}}-2$ trên $\left[ 0; 2 \right]$ ta có: $f'\left(x \right)=3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1>0\forall m$
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$\Rightarrow \underset{\left[ 0; 2 \right]}{\mathop{Min}} f\left(x \right)=f\left(0 \right)=7$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2=7 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}=9 \\
& \Leftrightarrow m=\pm 3. \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left(x \right)={{x}^{3}}+\left({{m}^{2}}+1 \right)x+{{m}^{2}}-2$ trên $\left[ 0; 2 \right]$ ta có: $f'\left(x \right)=3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1>0\forall m$
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow \underset{\left[ 0; 2 \right]}{\mathop{Min}} f\left(x \right)=f\left(0 \right)=7$
Cách giải:
Xét hàm số $f\left(x \right)={{x}^{3}}+\left({{m}^{2}}+1 \right)x+{{m}^{2}}-2$ trên $\left[ 0; 2 \right]$ ta có: $f'\left(x \right)=3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1>0\forall m$
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$\Rightarrow \underset{\left[ 0; 2 \right]}{\mathop{Min}} f\left(x \right)=f\left(0 \right)=7$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2=7 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}=9 \\
& \Leftrightarrow m=\pm 3. \\
\end{aligned}$
Đáp án D.