Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}mx+m-8, x\in...

Hàm số .
TXĐ:
.
.
Nếu thì , suy ra hàm số đồng biến trên . Do đó phương trình có 1 nghiệm không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là .
Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:

Điều kiện đủ để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt là:
$\left[ \begin{aligned}
& {{y}_{C}}=0 \\
& {{y}_{CT}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0 \\
& -\dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0 \\
\end{aligned} \right.\dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}=8-m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& 8-m\ge 0 \\

& \dfrac{{{m}^{3}}}{6}=9\left( 64-16m+{{m}^{2}} \right) \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& m\le 8 \\

& \left[ \begin{aligned}

& m=6 \\

& m=24 \\

\end{aligned} \right. \\

\end{aligned} \right.\Rightarrow m=6 Phương trình \)">f\left( x \right)=k3\Leftrightarrow -4<k<0k-\dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}=m-8\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-8\ge 0 \\
& \dfrac{{{m}^{3}}}{6}=9\left( 64-16m+{{m}^{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 8 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=6 \\
& m=24 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=24 Phương trình \)">f\left( x \right)=k3\Leftrightarrow 0<k<3231k$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.