Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}mx+m-8, x\in...

Hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}mx+m-8$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}m$.
${f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{1}{6}m$.
Nếu $m\le 0$ thì ${f}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó phương trình $f\left( x \right)=0$ có 1 nghiệm $\Rightarrow $ $m\le 0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy để phương trình $f\left( x \right)=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là $m>0$.
Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:

Điều kiện đủ để phương trình $f\left( x \right)=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt là:
$\left[ \begin{aligned}
& {{y}_{C}}=0 \\
& {{y}_{CT}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0 \\
& -\dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0 \\
\end{aligned} \right.$
TH1:
$\dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}=8-m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& 8-m\ge 0 \\

& \dfrac{{{m}^{3}}}{6}=9\left( 64-16m+{{m}^{2}} \right) \\

\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& m\le 8 \\

& \left[ \begin{aligned}

& m=6 \\

& m=24 \\

\end{aligned} \right. \\

\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m=6$.
Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:

Phương trình $f\left( x \right)=k$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ $-4<k<0$. Suy ra không có giá trị nguyên dương nào của $k$ trong trường hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài .

TH2: $-\dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}+m-8=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}m\sqrt{\dfrac{m}{6}}=m-8$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-8\ge 0 \\
& \dfrac{{{m}^{3}}}{6}=9\left( 64-16m+{{m}^{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 8 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=6 \\
& m=24 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m=24$.
Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:

Phương trình $f\left( x \right)=k$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<k<32$.
Vậy có $31$ giá trị nguyên dương của $k$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.