Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Số nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left[ f\left( x \right) \right]+4}=f\left( x \right)+1$ là
A. 7
B. 4
C. 3
D. 2
Số nghiệm của phương trình $\sqrt{f\left[ f\left( x \right) \right]+4}=f\left( x \right)+1$ là
A. 7
B. 4
C. 3
D. 2
Cách giải:
Đặt $t=f\left( x \right).$ Khi đó phương trình trở thành:
$\sqrt{f\left( t \right)+4}=t+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)+4={{t}^{2}}+2t+2 \\
& t\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)={{t}^{2}}+2t-3\text{ }\left( 1 \right) \\
& t\ge -1 \\
\end{aligned} \right.$
Vẽ đồ thị hàm số $y={{t}^{2}}+2t-3$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta có:
Ta có: $f\left( t \right)={{t}^{2}}+2t-3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}<-1\left( L \right) \\
& t=1 \\
& t={{t}_{2}}>2 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị ta có: $f\left( x \right)=1$ có 3 nghiệm, $f\left( x \right)={{t}_{2}}>2$ có 1 nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 4.
Đặt $t=f\left( x \right).$ Khi đó phương trình trở thành:
$\sqrt{f\left( t \right)+4}=t+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)+4={{t}^{2}}+2t+2 \\
& t\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)={{t}^{2}}+2t-3\text{ }\left( 1 \right) \\
& t\ge -1 \\
\end{aligned} \right.$
Vẽ đồ thị hàm số $y={{t}^{2}}+2t-3$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta có:
Ta có: $f\left( t \right)={{t}^{2}}+2t-3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}<-1\left( L \right) \\
& t=1 \\
& t={{t}_{2}}>2 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị ta có: $f\left( x \right)=1$ có 3 nghiệm, $f\left( x \right)={{t}_{2}}>2$ có 1 nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 4.
Đáp án B.