Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+f'\left( x \right)+f''\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là $-5$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=1$ bằng
A. $3\ln 2$
B. $\ln 2$
C. $\ln 15$
D. $2\ln 3$
A. $3\ln 2$
B. $\ln 2$
C. $\ln 15$
D. $2\ln 3$
Ta có
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \\
& f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b \\
& f''\left( x \right)=6x+2a \\
& f'''\left( x \right)=6 \\
\end{aligned}$
Xét PT : $\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=1\Leftrightarrow g\left( x \right)+6-f\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)+f''\left( x \right)+f'''\left( x \right)=0\Leftrightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
( hàm $g\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ )
Suy ra diện tích bằng
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}-1 \right|}dx=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{g\left( x \right)+6-f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6} \right|}dx=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{g'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}}dx \right|=\left| \ln \left| g\left( x \right)+6 \right|\left| _{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right. \right|$
$S=\left| \ln \left| g\left( {{x}_{2}} \right)+6 \right|-\ln \left| g\left( {{x}_{1}} \right)+6 \right| \right|=2\ln 3$
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \\
& f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b \\
& f''\left( x \right)=6x+2a \\
& f'''\left( x \right)=6 \\
\end{aligned}$
Xét PT : $\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=1\Leftrightarrow g\left( x \right)+6-f\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)+f''\left( x \right)+f'''\left( x \right)=0\Leftrightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
( hàm $g\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ )
Suy ra diện tích bằng
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}-1 \right|}dx=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{g\left( x \right)+6-f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6} \right|}dx=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{g'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}}dx \right|=\left| \ln \left| g\left( x \right)+6 \right|\left| _{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right. \right|$
$S=\left| \ln \left| g\left( {{x}_{2}} \right)+6 \right|-\ln \left| g\left( {{x}_{1}} \right)+6 \right| \right|=2\ln 3$
Đáp án D.