Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là $-5$ và $2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=1$ bằng
A. $\ln 3$.
B. $3\ln 2$.
C. $\ln 10$.
D. $\ln 7$.
A. $\ln 3$.
B. $3\ln 2$.
C. $\ln 10$.
D. $\ln 7$.
Ta có
$g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)={{x}^{3}}+\left( a+3 \right){{x}^{2}}+\left( 2a+b+6 \right)x+\left( 2a+b+c \right)$
${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{{f}'}'}'\left( x \right)$ $=3{{x}^{2}}+2ax+b+6x+2a+6$
$=3{{x}^{2}}+\left( 2a+6 \right)x+\left( 2a+b+6 \right)$.
Vì $y=g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là $-5$ và $2$ nên ${g}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với $g\left( {{x}_{1}} \right)=-5,g\left( {{x}_{2}} \right)=2$.
Phương trình hoành độ giao điểm
$\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=1\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)-6}{g\left( x \right)+6}=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{3{{x}^{2}}+\left( 2a+6 \right)x+\left( 2a+b+6 \right)}{g\left( x \right)+6}=0\Leftrightarrow \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=0$.
Phương trình này cũng có hai nghệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
Như vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=1$ là
$S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}} \right|=\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)+6 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=\left| \ln \left| 2+6 \right|-\ln \left| -5+6 \right| \right|=3\ln 2$.
$g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)={{x}^{3}}+\left( a+3 \right){{x}^{2}}+\left( 2a+b+6 \right)x+\left( 2a+b+c \right)$
${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{{f}'}'}'\left( x \right)$ $=3{{x}^{2}}+2ax+b+6x+2a+6$
$=3{{x}^{2}}+\left( 2a+6 \right)x+\left( 2a+b+6 \right)$.
Vì $y=g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là $-5$ và $2$ nên ${g}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với $g\left( {{x}_{1}} \right)=-5,g\left( {{x}_{2}} \right)=2$.
Phương trình hoành độ giao điểm
$\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=1\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)-6}{g\left( x \right)+6}=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{3{{x}^{2}}+\left( 2a+6 \right)x+\left( 2a+b+6 \right)}{g\left( x \right)+6}=0\Leftrightarrow \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=0$.
Phương trình này cũng có hai nghệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
Như vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=1$ là
$S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}} \right|=\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)+6 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=\left| \ln \left| 2+6 \right|-\ln \left| -5+6 \right| \right|=3\ln 2$.
Đáp án B.