Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x$ và $g\left( x \right)=\left| f\left( 2+\sin x \right)+m \right|$ ( $m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số $m$ để $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} g\left( x \right)+\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=50$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $16$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-9$.
A. $16$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-9$.
Đặt $t=2+\sin x\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow g\left( t \right)=\left| {{t}^{3}}-3t-m \right| , t\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)+\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=50$.
Xét hàm số: $y={{t}^{3}}-3t-m\Rightarrow {y}'=3{{t}^{2}}-3\ge 0 \forall t\in \left[ 1;3 \right]$.
$y\left( 1 \right)=-m-2 , y\left( 3 \right)=18-m\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\} \\
& \left[ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\min \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\} \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 1: Nếu $-m-2>0\Leftrightarrow m<-2$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\left| 18-m \right|=18-m \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\left| -2-m \right|=-m-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -2-m+18-m=50\Leftrightarrow m=-17 \left( t/m \right)$.
Trường hợp 2: Nếu $18-m<0\Leftrightarrow m>18$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\left| 18-m \right|=m-18 \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\left| -2-m \right|=m+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+2+m-18=50\Leftrightarrow m=33 \left( t/m \right)$
Trường hợp 3: Nếu $\left( -m-2 \right)\left( -m+18 \right)\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 18$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\} \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Nhận xét: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\}<50 , \forall m\in \left[ -2;18 \right]\Rightarrow m\in \varnothing $.
Vậy $S=\left\{ -17;33 \right\}$ nên tổng các phần tử của $S$ bằng $16.$
Xét hàm số: $y={{t}^{3}}-3t-m\Rightarrow {y}'=3{{t}^{2}}-3\ge 0 \forall t\in \left[ 1;3 \right]$.
$y\left( 1 \right)=-m-2 , y\left( 3 \right)=18-m\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\} \\
& \left[ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\min \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\} \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 1: Nếu $-m-2>0\Leftrightarrow m<-2$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\left| 18-m \right|=18-m \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\left| -2-m \right|=-m-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -2-m+18-m=50\Leftrightarrow m=-17 \left( t/m \right)$.
Trường hợp 2: Nếu $18-m<0\Leftrightarrow m>18$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\left| 18-m \right|=m-18 \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\left| -2-m \right|=m+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+2+m-18=50\Leftrightarrow m=33 \left( t/m \right)$
Trường hợp 3: Nếu $\left( -m-2 \right)\left( -m+18 \right)\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 18$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\} \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Nhận xét: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ \left| -m-2 \right|;\left| 18-m \right| \right\}<50 , \forall m\in \left[ -2;18 \right]\Rightarrow m\in \varnothing $.
Vậy $S=\left\{ -17;33 \right\}$ nên tổng các phần tử của $S$ bằng $16.$
Đáp án A.
