Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x$ và $g\left( x \right)=\left| f\left( 2+\sin x \right)+m \right|$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)+\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=50$ ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( 2+\sin x \right)+m$. Khi đó $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$.
Ta có : $1\le 2+\sin x\le 3,\forall x\in \mathbb{R}$.
Đặt $1+2\sin x=t,t\in \left[ 1;3 \right]$
Hàm số trở thành $h\left( t \right)=f\left( t \right)+m$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$.
${h}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+3<0,\forall t\in \left[ 1;3 \right]$, hàm số $h\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;3 \right]$.
Suy ra $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{max}} h\left( t \right)=h\left( 1 \right)=m+2$ và $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{min}} h\left( t \right)=h\left( 3 \right)=m-18$
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} h\left( x \right)=m+2$ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{min}} h\left( x \right)=m-18$.
Trường hợp 1: $\left( m+2 \right)\left( m-18 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow m\in \left[ -2 ; 18 \right]$
Khi đó $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=0$ ; $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=\dfrac{\left| \left( m+2 \right)+\left( m-18 \right) \right|+\left| \left( m+2 \right)-\left( m-18 \right) \right|}{2}=\left| m-8 \right|+10$
Do đó: $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)+\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=50$ $\Leftrightarrow \left| m-8 \right|=40\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-32 \\
& m=48 \\
\end{aligned} \right.(l)$.
Trường hợp 2: $\left( m+2 \right)\left( m-18 \right)>0$ $\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ; -2 \right)\cup \left( 18 ; +\infty \right)$
Khi đó:
$\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=\dfrac{\left| \left( m+2 \right)+\left( m-18 \right) \right|-\left| \left( m+2 \right)-\left( m-18 \right) \right|}{2}=\left| m-8 \right|-10$ $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=\dfrac{\left| \left( m+2 \right)+\left( m-18 \right) \right|+\left| \left( m+2 \right)-\left( m-18 \right) \right|}{2}=\left| m-8 \right|+10$
Do đó: $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)+\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=50$ $\Leftrightarrow \left| m-8 \right|=25$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=33 \\
& m=-17 \\
\end{aligned} \right.(t)$.
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Ta có : $1\le 2+\sin x\le 3,\forall x\in \mathbb{R}$.
Đặt $1+2\sin x=t,t\in \left[ 1;3 \right]$
Hàm số trở thành $h\left( t \right)=f\left( t \right)+m$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$.
${h}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+3<0,\forall t\in \left[ 1;3 \right]$, hàm số $h\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;3 \right]$.
Suy ra $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{max}} h\left( t \right)=h\left( 1 \right)=m+2$ và $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{min}} h\left( t \right)=h\left( 3 \right)=m-18$
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} h\left( x \right)=m+2$ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{min}} h\left( x \right)=m-18$.
Trường hợp 1: $\left( m+2 \right)\left( m-18 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow m\in \left[ -2 ; 18 \right]$
Khi đó $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=0$ ; $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=\dfrac{\left| \left( m+2 \right)+\left( m-18 \right) \right|+\left| \left( m+2 \right)-\left( m-18 \right) \right|}{2}=\left| m-8 \right|+10$
Do đó: $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)+\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=50$ $\Leftrightarrow \left| m-8 \right|=40\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-32 \\
& m=48 \\
\end{aligned} \right.(l)$.
Trường hợp 2: $\left( m+2 \right)\left( m-18 \right)>0$ $\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ; -2 \right)\cup \left( 18 ; +\infty \right)$
Khi đó:
$\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=\dfrac{\left| \left( m+2 \right)+\left( m-18 \right) \right|-\left| \left( m+2 \right)-\left( m-18 \right) \right|}{2}=\left| m-8 \right|-10$ $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=\dfrac{\left| \left( m+2 \right)+\left( m-18 \right) \right|+\left| \left( m+2 \right)-\left( m-18 \right) \right|}{2}=\left| m-8 \right|+10$
Do đó: $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)+\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\text{min}}} g\left( x \right)=50$ $\Leftrightarrow \left| m-8 \right|=25$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=33 \\
& m=-17 \\
\end{aligned} \right.(t)$.
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Đáp án C.