Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x-m$. Tìm m để mọi bộ ba số phân biệt a, b, c thuộc đoạn $\left[ -1;3 \right]$ thì $f\left( a...

Phương pháp giải:
- Tìm $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} y;\underset{a\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} y$
- Để $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thì $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
f\left( a \right)>0 \\
f\left( a \right)+f\left( b \right)>f\left( c \right) \\
\end{array} \right.$.
Giải chi tiết:
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow x=\pm 1\in \left[ -1;3 \right]$.
Ta có $y\left( -1 \right)=2-m;y\left( 1 \right)=-2-m;y\left( 3 \right)=18-m$.
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=-2-m;\underset{a\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=18-m$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $f\left( a \right)\le f\left( b \right)\le f\left( c \right)$.
Vì $a,b,c\in \left[ -1;3 \right]$ nên $-2-m\le f\left( a \right)\le f\left( b \right)\le f\left( c \right)\le 18-m$.
Để $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thì $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
f\left( a \right)>0 \\
f\left( a \right)+f\left( b \right)>f\left( c \right) \\
\end{array} \right.\left( * \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-2-m\le f\left( a \right) \\
-2-m\le f\left( b \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow f\left( a \right)+f\left( b \right)\ge -4-2m$.
Do đó (*) luôn đúng khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-2-m>0 \\
-4-2m\ge 18-m \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m<-2 \\
m\le -22 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m\le -22$.