Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x-m$. Tìm m để mọi bộ ba số phân biệt a, b, c thuộc đoạn $[-1;3]$ thì $f\left( a...

Phương pháp giải:
- Tìm $\underset{[-1;3]}{min}y;\underset{a[-1;3]}{max}y$
- Để $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(c\right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thì $\{\begin{array}{l}f\left(a\right)>0\\ f\left(a\right)+f\left(b\right)>f\left(c\right)\end{array}$.
Giải chi tiết:
Ta có: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1\in [-1;3]$.
Ta có $y(-1)=2-m;y\left(1\right)=-2-m;y\left(3\right)=18-m$.
$\Rightarrow \underset{[-1;3]}{min}y=-2-m;\underset{a[-1;3]}{max}y=18-m$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $f\left(a\right)\le f\left(b\right)\le f\left(c\right)$.
Vì $a,b,c\in [-1;3]$ nên $-2-m\le f\left(a\right)\le f\left(b\right)\le f\left(c\right)\le 18-m$.
Để $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(c\right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thì $\{\begin{array}{l}f\left(a\right)>0\\ f\left(a\right)+f\left(b\right)>f\left(c\right)\end{array}(\ast )$.
Ta có: $\{\begin{array}{l}-2-m\le f\left(a\right)\\ -2-m\le f\left(b\right)\end{array}\Rightarrow f\left(a\right)+f\left(b\right)\ge -4-2m$.
Do đó (*) luôn đúng khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}-2-m>0\\ -4-2m\ge 18-m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-2\\ m\le -22\end{array}\iff m\le -22$.