Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m+2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương $m<2018$ sao cho với mọi bộ số thực $a, b, c\in \left[ -1; 3...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m+2,$ ta có:
$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1$
$f\left( 1 \right)=m,f\left( -1 \right)=m+6,f\left( 3 \right)=m+20.$
Suy ra: $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=m,\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=m+20.$
Vì $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:
$f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ -1;3 \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m>0\Rightarrow 0<m<2018.$
Mặt khác, với mọi số thực $a,b,c\in \left[ -1;3 \right]$ thì $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi $f\left( 1 \right),f\left( 1 \right),f\left( 3 \right)$ cũng là độ dài ba cạnh của tam giác nhọn
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)>f\left( 3 \right) \\
& {{\left[ f\left( 1 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ f\left( 1 \right) \right]}^{2}}>{{\left[ f\left( 3 \right) \right]}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m>m+20 \\
& 2{{m}^{2}}>{{\left( m+20 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>20 \\
& m<20-20\sqrt{2}\text{ hoa }\!\!\ddot{\mathrm{e}}\!\!\text{ c }m>20+\text{20}\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow m>20+20\sqrt{2}\Rightarrow 20+20\sqrt{2}<m<2018.$
Mà $m\in \mathbb{Z}*\Rightarrow m=49;50;...;2017$ nên ta có $2017-48=1969$ giá trị nguyên dương của $m.$