Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ${m}$ để phương trình ${2019.f\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} - \sqrt 2 } \right) = m}$ có tổng tất cả các nghiệm phân biệt bằng ${4}$ ?
A. 1182
B. ${1232}$.
C. ${895}$.
D. ${1517}$.
A. 1182
B. ${1232}$.
C. ${895}$.
D. ${1517}$.
Nhận xét ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình.
Do đó nếu tồn tại hai nghiệm cothì số nghiệm sẽ là 4, tổng các nghiệm bằng 4.
Đặt $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{2}$ thu được phương trình $f\left( t \right)=\dfrac{m}{2019}$
Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}\Rightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\ge \sqrt{x+1+3-x}=2$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\le \sqrt{2\left( x+1+3-x \right)}=2\sqrt{2}$.
Khi đó $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{2}\in \left[ 2-\sqrt{2};\sqrt{2} \right]$
Bảng biến thiên hàm số $f\left( t \right)$ như sau
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $-1<\dfrac{m}{2019}<1-\sqrt{2}\Rightarrow m\in \left\{ -2018;...;-837 \right\}$
Như vậy có 1182 giá trị nguyên m.
Do đó nếu tồn tại hai nghiệm cothì số nghiệm sẽ là 4, tổng các nghiệm bằng 4.
Đặt $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{2}$ thu được phương trình $f\left( t \right)=\dfrac{m}{2019}$
Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}\Rightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\ge \sqrt{x+1+3-x}=2$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\le \sqrt{2\left( x+1+3-x \right)}=2\sqrt{2}$.
Khi đó $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{2}\in \left[ 2-\sqrt{2};\sqrt{2} \right]$
Bảng biến thiên hàm số $f\left( t \right)$ như sau
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $-1<\dfrac{m}{2019}<1-\sqrt{2}\Rightarrow m\in \left\{ -2018;...;-837 \right\}$
Như vậy có 1182 giá trị nguyên m.
Đáp án A.