Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1.$ Có bao nhiêu giá...

Cách giải:
Đặt $t=2\sin x+1\Rightarrow t\in \left[ -1;3 \right].$
Khi đó hàm số trở thành $y=\left| f\left( t \right)+m \right|.$
Xét hàm số $g\left( t \right)=f\left( t \right)+m={{t}^{3}}-3t+1+m$ với $t\in \left[ -1;3 \right]$ ta có:
$g'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3=0\Leftrightarrow t=\pm 1.$
Ta có: $g\left( 3 \right)=m+19,g\left( 1 \right)=m-1,g\left( -1 \right)=m+3$ nên ta có $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=m-1,\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=m+19.$
TH1: Nếu $m+19>m-1>0\left( m>1 \right)$
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $m-1\le 10\Leftrightarrow m\le 11\Rightarrow 1<m\le 11\left( 1 \right)$
TH2: Nếu $0>m+19>m-1\left( m<-19 \right).$
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $m+19\ge -10\Leftrightarrow m\ge -29\Rightarrow -29\le m\le -19\left( 2 \right)$
TH3: Nếu $m-1\le 0\le m+19\Leftrightarrow -19\le m\le 1$ thì $\min y=0$ (đúng) (3).
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow -29\le m\le 11.$
Vậy có 41 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.