Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$, gọi $S$ là...

Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ là:
Xét phương trình ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-\left( 2m+4 \right)f\left( x \right)+m\left( m+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=m+4 \\
& f\left( x \right)=m \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi 1 trong 3 TH sau xảy ra
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& m+4=1 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-3$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& -3<m+4<1 \\
& m<-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -7<m<-3$.
TH3: $\left\{ \begin{aligned}
& -3<m<1 \\
& m+4>1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m<1$.
Kết hợp cả 3 TH ta có $-7<m<1$ $\Rightarrow S=\left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0 \right\}$
Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $-21$