Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x-{{5}^{m}}.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ -6;6 \right]$ để bất phương trình $f\left( f\left( x \right) \right)\ge x$ đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $\left( 2;6 \right)?$
A. 5
B. 11
C. 6
D. 8
A. 5
B. 11
C. 6
D. 8
Cách giải:
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\ge x \\
& f\left( x \right)=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( t \right)-f\left( x \right)\ge x-t\Rightarrow f\left( t \right)+t\ge f\left( x \right)+x.$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)+x$ ta có $h'\left( x \right)=f'\left( x \right)+1=3{{x}^{2}}+2+1>0\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $f\left( t \right)+t\ge f\left( x \right)+x\Leftrightarrow t\ge x.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=t\ge x\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x\ge {{5}^{m}}$ đúng với mọi $x\in \left( 2;6 \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}+x$ với $x\in \left( 2;6 \right)$ ta có $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1>0\forall x$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 2;6 \right).$
Do đó $\underset{\left[ 2;6 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=10.$
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{5}^{m}}\le \underset{\left[ 2;6 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=10\Leftrightarrow m\le {{\log }_{5}}10.$
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1 \right\}.$
Vậy có 8 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\ge x \\
& f\left( x \right)=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( t \right)-f\left( x \right)\ge x-t\Rightarrow f\left( t \right)+t\ge f\left( x \right)+x.$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)+x$ ta có $h'\left( x \right)=f'\left( x \right)+1=3{{x}^{2}}+2+1>0\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $f\left( t \right)+t\ge f\left( x \right)+x\Leftrightarrow t\ge x.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=t\ge x\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x\ge {{5}^{m}}$ đúng với mọi $x\in \left( 2;6 \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}+x$ với $x\in \left( 2;6 \right)$ ta có $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1>0\forall x$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 2;6 \right).$
Do đó $\underset{\left[ 2;6 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=10.$
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{5}^{m}}\le \underset{\left[ 2;6 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=10\Leftrightarrow m\le {{\log }_{5}}10.$
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1 \right\}.$
Vậy có 8 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.