Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1$. Gọi $S$ là tập hợp...

Đặt $t={{x}^{2}}-2x+1\Rightarrow {t}'=2x-2\Rightarrow t=0\Leftrightarrow x=1\in \left[ -1;3 \right]$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $t\in \left[ 0;4 \right]$.
Bài toán đưa về: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( t \right)=\left| {{t}^{2}}-2t+m \right|$ trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ bằng $8$. Tính tổng các phẩn tử của $S$.
Đặt $h\left( t \right)={{t}^{2}}-2t+m\Rightarrow {t}'=2t-2\Rightarrow {h}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1\in \left[ 0;4 \right]$.
Ta có $h\left( 1 \right)=m-1,h\left( 0 \right)=m-1,h\left( 4 \right)=m-1+9\Rightarrow g\left( 1 \right)=\left| m-1 \right|,g\left( 0 \right)=\left| m-1+1 \right|,g\left( 4 \right)=\left| m-1+9 \right|$.
Xét trường hợp:
+ $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|=8 \\
& \left| m-1 \right|<\left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-16 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left| m-1 \right|<\left| m+9 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0.$
+ $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m-1 \right|=8 \\
& \left| m-1 \right|>\left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=9 \\
& m=-7 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left| m-1 \right|>\left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-7.$
Tổng các phần tử của $-7+0=-7.$