Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2-2x-1.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x...

Phương pháp:
- Lập BBT tìm khoảng giá trị của $f\left(x\right).$
- Tìm khoảng giá trị của $u=f\left(f\left(x\right)\right)=f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)-1$ với khoảng giá trị của $f\left(x\right)$ tìm được ở trên.
- Biểu diễn hàm số $g\left(x\right)$ theo $u$ và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo $u.$
- Xét các TH và tìm $u.$
Cách giải:
Xét hàm số $f\left(x\right),$ ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow$ Với $x\in [-1;3]$ thì $f\left(x\right)\in [-2;2].$
Đặt $u=f\left(f\left(x\right)\right)=f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)-1,$ với $f\left(x\right)\in [-2;2],$ từ bảng biến thiên ta thấy $u\in [-2;7].$ Suy ra $g\left(u\right)=|u+m+1|,$ với $u\in [-2;7].$
Vì hàm số $h\left(u\right)=u+m+1$ đồng biến trên $[-2;7],$ có $h(-2)=m-1;h\left(7\right)=m+8.$
Do đó: $\underset{[-2;7]}{max}g\left(u\right)=max\{|m-1|;|m+8|\}$
TH1: $\underset{[-2;7]}{max}g\left(u\right)=|m-1|.$ Suy ra $\{\begin{array}{rl}& |m-1|=8\\ & |m-1|\ge |m+8|\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m=9\\ & m=-7\end{array}\\ & |m-1|\ge |m+8|\end{array}\iff m=-7$
TH2: $\underset{[-2;7]}{max}g\left(u\right)=|m+8|.$ Suy ra $\{\begin{array}{rl}& |m+8|=8\\ & |m-1|\le |m+8|\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m=0\\ & m=-16\end{array}\\ & |m-1|\le |m+8|\end{array}\iff m=0$
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.