Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)+m \right|$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ bằng 8.
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Phương pháp:
- Lập BBT tìm khoảng giá trị của $f\left( x \right).$
- Tìm khoảng giá trị của $u=f\left( f\left( x \right) \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)-1$ với khoảng giá trị của $f\left( x \right)$ tìm được ở trên.
- Biểu diễn hàm số $g\left( x \right)$ theo $u$ và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo $u.$
- Xét các TH và tìm $u.$
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right),$ ta có bảng biến thiên:
$\Rightarrow $ Với $x\in \left[ -1;3 \right]$ thì $f\left( x \right)\in \left[ -2;2 \right].$
Đặt $u=f\left( f\left( x \right) \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)-1,$ với $f\left( x \right)\in \left[ -2;2 \right],$ từ bảng biến thiên ta thấy $u\in \left[ -2;7 \right].$ Suy ra $g\left( u \right)=\left| u+m+1 \right|,$ với $u\in \left[ -2;7 \right].$
Vì hàm số $h\left( u \right)=u+m+1$ đồng biến trên $\left[ -2;7 \right],$ có $h\left( -2 \right)=m-1;h\left( 7 \right)=m+8.$
Do đó: $\underset{\left[ -2;7 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=\max \left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$
TH1: $\underset{\left[ -2;7 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=\left| m-1 \right|.$ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m-1 \right|=8 \\
& \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=9 \\
& m=-7 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-7$
TH2: $\underset{\left[ -2;7 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=\left| m+8 \right|.$ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|=8 \\
& \left| m-1 \right|\le \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-16 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left| m-1 \right|\le \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0$
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Lập BBT tìm khoảng giá trị của $f\left( x \right).$
- Tìm khoảng giá trị của $u=f\left( f\left( x \right) \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)-1$ với khoảng giá trị của $f\left( x \right)$ tìm được ở trên.
- Biểu diễn hàm số $g\left( x \right)$ theo $u$ và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo $u.$
- Xét các TH và tìm $u.$
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right),$ ta có bảng biến thiên:
$\Rightarrow $ Với $x\in \left[ -1;3 \right]$ thì $f\left( x \right)\in \left[ -2;2 \right].$
Đặt $u=f\left( f\left( x \right) \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)-1,$ với $f\left( x \right)\in \left[ -2;2 \right],$ từ bảng biến thiên ta thấy $u\in \left[ -2;7 \right].$ Suy ra $g\left( u \right)=\left| u+m+1 \right|,$ với $u\in \left[ -2;7 \right].$
Vì hàm số $h\left( u \right)=u+m+1$ đồng biến trên $\left[ -2;7 \right],$ có $h\left( -2 \right)=m-1;h\left( 7 \right)=m+8.$
Do đó: $\underset{\left[ -2;7 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=\max \left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$
TH1: $\underset{\left[ -2;7 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=\left| m-1 \right|.$ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m-1 \right|=8 \\
& \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=9 \\
& m=-7 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-7$
TH2: $\underset{\left[ -2;7 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=\left| m+8 \right|.$ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|=8 \\
& \left| m-1 \right|\le \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-16 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left| m-1 \right|\le \left| m+8 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0$
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.