Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{3x}}\left( 4f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right)=2\sqrt{f\left( x \right)} \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right., \forall x\ge 0 $ và $ f\left( 0 \right)=1 $. Tính $ I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
A. $I=\dfrac{11}{24}$.
B. $I=-\dfrac{1}{12}$.
C. $I=\dfrac{209}{640}$.
D. $I=\dfrac{201}{640}$.
& {{e}^{3x}}\left( 4f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right)=2\sqrt{f\left( x \right)} \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right., \forall x\ge 0 $ và $ f\left( 0 \right)=1 $. Tính $ I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
A. $I=\dfrac{11}{24}$.
B. $I=-\dfrac{1}{12}$.
C. $I=\dfrac{209}{640}$.
D. $I=\dfrac{201}{640}$.
Ta có ${{e}^{3x}}\left( 4f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right)=2\sqrt{f\left( x \right)}\Leftrightarrow 2{{e}^{2x}}\sqrt{f\left( x \right)}+{{e}^{2x}}\dfrac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}=\dfrac{1}{{{e}^{x}}}\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{2x}}\sqrt{f\left( x \right)} \right)}^{'}}=\dfrac{1}{{{e}^{x}}}$
Do đó ${{e}^{2x}}\sqrt{f\left( x \right)}$ là một nguyên hàm của $\dfrac{1}{{{e}^{x}}}$, tức ${{e}^{2x}}\sqrt{f\left( x \right)}=-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}+C$
Thay $x=0$ vào ta được $C=2$. Tìm được $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{2}{{{e}^{2x}}}-\dfrac{1}{{{e}^{3x}}} \right)}^{2}}$
$I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{\left( \dfrac{2}{{{e}^{2x}}}-\dfrac{1}{{{e}^{3x}}} \right)}^{2}}}dx=\int\limits_{0}^{\ln 2}{\left( \dfrac{4}{{{e}^{4x}}}-\dfrac{4}{{{e}^{5x}}}+\dfrac{1}{{{e}^{6x}}} \right)}dx=\dfrac{209}{640}$.
Do đó ${{e}^{2x}}\sqrt{f\left( x \right)}$ là một nguyên hàm của $\dfrac{1}{{{e}^{x}}}$, tức ${{e}^{2x}}\sqrt{f\left( x \right)}=-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}+C$
Thay $x=0$ vào ta được $C=2$. Tìm được $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{2}{{{e}^{2x}}}-\dfrac{1}{{{e}^{3x}}} \right)}^{2}}$
$I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{\left( \dfrac{2}{{{e}^{2x}}}-\dfrac{1}{{{e}^{3x}}} \right)}^{2}}}dx=\int\limits_{0}^{\ln 2}{\left( \dfrac{4}{{{e}^{4x}}}-\dfrac{4}{{{e}^{5x}}}+\dfrac{1}{{{e}^{6x}}} \right)}dx=\dfrac{209}{640}$.
Đáp án C.