Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{e}^{x-f\left( x \right)}}$ với mọi $x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ và $f\left( 1 \right)=1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để bất phương trình ${{3}^{x}}\ge \left( f\left( x \right)-m \right)\ln 3$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $5$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $5$.
Ta có $f'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}=\left[ \left( 2x-1 \right)+2 \right]{{e}^{x}}={{\left[ \left( 2x-1 \right){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}$, $\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
Nguyên hàm hai vế của phương trình ta được: ${{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
Mặt khác, $f\left( 1 \right)=1$ nên ta có ${{e}^{1}}=\left( 2.1-1 \right){{e}^{1}}+C\Rightarrow C=0$.
Vậy ${{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x-1 \right){{e}^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+x$.
Khi đó ${{3}^{x}}\ge \left( f\left( x \right)-m \right)\ln 3\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{x}}}{\ln 3}\ge \ln \left( 2x-1 \right)+x-m,\forall x>\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow m\ge \ln \left( 2x-1 \right)+x-\dfrac{{{3}^{x}}}{\ln 3},\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+x-\dfrac{{{3}^{x}}}{\ln 3}$ với $x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Ta có: $g'\left( x \right)=\dfrac{2}{2x-1}+1-{{3}^{x}}=\dfrac{2x+1}{2x-1}-{{3}^{x}}$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{2x-1}={{3}^{x}}$
Nhận xét trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$, $h\left( x \right)={{3}^{x}}$ là hàm đồng biến và $k\left( x \right)=\dfrac{2x+1}{2x-1}$ là hàm nghịch biến
Đồng thời $h\left( 1 \right)=k\left( 1 \right)$ nên $x=1$ là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.
Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu bài toán ta có $m\ge g\left( 1 \right)=1-\dfrac{3}{\ln 3}\approx -1,73$
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow m=-1$. Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Nguyên hàm hai vế của phương trình ta được: ${{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
Mặt khác, $f\left( 1 \right)=1$ nên ta có ${{e}^{1}}=\left( 2.1-1 \right){{e}^{1}}+C\Rightarrow C=0$.
Vậy ${{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x-1 \right){{e}^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+x$.
Khi đó ${{3}^{x}}\ge \left( f\left( x \right)-m \right)\ln 3\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{x}}}{\ln 3}\ge \ln \left( 2x-1 \right)+x-m,\forall x>\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow m\ge \ln \left( 2x-1 \right)+x-\dfrac{{{3}^{x}}}{\ln 3},\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+x-\dfrac{{{3}^{x}}}{\ln 3}$ với $x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Ta có: $g'\left( x \right)=\dfrac{2}{2x-1}+1-{{3}^{x}}=\dfrac{2x+1}{2x-1}-{{3}^{x}}$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{2x-1}={{3}^{x}}$
Nhận xét trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$, $h\left( x \right)={{3}^{x}}$ là hàm đồng biến và $k\left( x \right)=\dfrac{2x+1}{2x-1}$ là hàm nghịch biến
Đồng thời $h\left( 1 \right)=k\left( 1 \right)$ nên $x=1$ là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.
Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ như sau:
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow m=-1$. Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.