Cho hàm số $f\left( x \right)=m\sqrt{x-1}$ $(m$ là tham số thực khác 0). Gọi ${{m}_{1}},{{m}_{2}}$ là hai giá trị của $m$ thỏa mãn...

(VD) - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Dựa vào dấu của $m$ xác định tính đơn điệu của hàm số trên $\left[ 2;5 \right]$ và suy ra GTLN, GTNN của hàm số trên $\left[ 2;5 \right].$
- Giải phương trình tìm $m.$
Cách giải:
TXÐ: $D=\left[ 1;+\infty \right).$
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{m}{2\sqrt{x-1}}.$
TH1: $m>0\Rightarrow y'>0\forall x\ne 1,$ khi đó hàm số đồng biến trên $\left[ 2;5 \right].$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=m \\
& \underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{max}} f\left( x \right)=f\left( 5 \right)=2m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m+2m={{m}^{2}}-10$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=5\left( tm \right) \\
& m=-2\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $m<0\Rightarrow y'<0\forall x\ne 1,$ khi đó hàm số nghịch biến trên $\left[ 2;5 \right].$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 5 \right)=2m \\
& \underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{max}} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 2m+m={{m}^{2}}-10$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=5\left( ktm \right) \\
& m=-2\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{m}_{1}}=5,{{m}_{2}}=-2\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=5+\left( -2 \right)=3.$