Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right)$. Tính tổng $S=f'\left( 1 \right)+f'\left( 2 \right)+...+f'\left( 2019 \right).~$
A. $S=-\dfrac{2018}{2019}$
B. $S=-\dfrac{4039}{2020}$
C. $S=-\dfrac{2019}{2020}$
D. $S=-\dfrac{2019}{2020}$
A. $S=-\dfrac{2018}{2019}$
B. $S=-\dfrac{4039}{2020}$
C. $S=-\dfrac{2019}{2020}$
D. $S=-\dfrac{2019}{2020}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức $\ln \dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$ và công thức tính đạo hàm $\left( lnu \right)'=\dfrac{u'}{u}$ .
Cách giải:
$f\left( x \right)=\ln \left( \dfrac{x+1}{1} \right)=\ln \left( x+1 \right)-\ln x$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$
Khi đó ta có:
$S=f'\left( 1 \right)+f'\left( 2 \right)+....f'(2019)$
$S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+....+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019}$
$S=\dfrac{1}{2020}-1=-\dfrac{2019}{2020}$
Sử dụng công thức $\ln \dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$ và công thức tính đạo hàm $\left( lnu \right)'=\dfrac{u'}{u}$ .
Cách giải:
$f\left( x \right)=\ln \left( \dfrac{x+1}{1} \right)=\ln \left( x+1 \right)-\ln x$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$
Khi đó ta có:
$S=f'\left( 1 \right)+f'\left( 2 \right)+....f'(2019)$
$S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+....+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019}$
$S=\dfrac{1}{2020}-1=-\dfrac{2019}{2020}$
Đáp án C.