Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và luôn nhận giá trị dương trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)={{e}^{2}}$ và $2\sin 2x\left[ f\left( x \right)+{{e}^{\cos x}}\sqrt{f\left( x \right)} \right]+f'\left( x \right)=0,\forall x\in \mathbb{R}.$ Khi đó $f\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)$ thuộc khoảng
A. $\left( 1;2 \right)$
B. $\left( 2;3 \right)$
C. $\left( 3;4 \right)$
D. $\left( 0;1 \right)$
A. $\left( 1;2 \right)$
B. $\left( 2;3 \right)$
C. $\left( 3;4 \right)$
D. $\left( 0;1 \right)$
Phương pháp:
Biến đổi và đưa 2 vế về dạng đạo hàm.
Cách giải:
Ta có:
$2\sin 2x\left[ f\left( x \right)+{{e}^{\cos 2x}}\sqrt{f\left( x \right)} \right]+f'\left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)+2\sin 2x.f\left( x \right)=-2\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}}\sqrt{f\left( x \right)}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\dfrac{1}{\sqrt{f\left( x \right)}}\left[ f'\left( x \right)+2\sin 2x.f\left( x \right) \right]=-2\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}+{{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.2\sin 2x.\sqrt{f\left( x \right)}=-2\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}+{{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sin 2x.\sqrt{f\left( x \right)}=-\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}\left( \sqrt{f\left( x \right)} \right)'+\left( {{e}^{{{\sin }^{2}}x}} \right)'.\sqrt{f\left( x \right)}=-\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow \left( {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{f\left( x \right)} \right)'=\left( {{e}^{{{\cos }^{2}}x}} \right)'$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{f\left( x \right)}={{e}^{{{\cos }^{2}}x}}+C$
Theo bài ra ta có $f\left( 0 \right)={{e}^{2}}\Rightarrow {{e}^{0}}\sqrt{f\left( 0 \right)}={{e}^{1}}+C\Leftrightarrow C=0.$
$\Rightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{f\left( x \right)}={{e}^{{{\cos }^{2}}x}}\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)}={{e}^{\cos 2x}}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{2\cos 2x}}.$
Vậy $f\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)={{e}^{2\cos \dfrac{4\pi }{3}}}=\dfrac{1}{e}\approx 0,37\in \left( 0;1 \right).$
Biến đổi và đưa 2 vế về dạng đạo hàm.
Cách giải:
Ta có:
$2\sin 2x\left[ f\left( x \right)+{{e}^{\cos 2x}}\sqrt{f\left( x \right)} \right]+f'\left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)+2\sin 2x.f\left( x \right)=-2\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}}\sqrt{f\left( x \right)}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\dfrac{1}{\sqrt{f\left( x \right)}}\left[ f'\left( x \right)+2\sin 2x.f\left( x \right) \right]=-2\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}+{{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.2\sin 2x.\sqrt{f\left( x \right)}=-2\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\dfrac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}+{{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sin 2x.\sqrt{f\left( x \right)}=-\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}\left( \sqrt{f\left( x \right)} \right)'+\left( {{e}^{{{\sin }^{2}}x}} \right)'.\sqrt{f\left( x \right)}=-\sin 2x.{{e}^{{{\cos }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow \left( {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{f\left( x \right)} \right)'=\left( {{e}^{{{\cos }^{2}}x}} \right)'$
$\Leftrightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{f\left( x \right)}={{e}^{{{\cos }^{2}}x}}+C$
Theo bài ra ta có $f\left( 0 \right)={{e}^{2}}\Rightarrow {{e}^{0}}\sqrt{f\left( 0 \right)}={{e}^{1}}+C\Leftrightarrow C=0.$
$\Rightarrow {{e}^{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{f\left( x \right)}={{e}^{{{\cos }^{2}}x}}\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)}={{e}^{\cos 2x}}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{2\cos 2x}}.$
Vậy $f\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)={{e}^{2\cos \dfrac{4\pi }{3}}}=\dfrac{1}{e}\approx 0,37\in \left( 0;1 \right).$
Đáp án D.