Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ và thỏa mãn $x f^{'} (x) + (x + 1) f (x) = e^{- x}$ với...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

R

và thỏa mãn

x f^{'} (x) + (x + 1) f (x) = e^{- x}

với mọi

x

. Tính

f^{'} (0)

.
A. 1
B.

- 1

C.

\frac{1}{e}

D.

e

Phương pháp giải:
- Nhận thấy

(x + 1) e^{x} = {(x e^{x})}^{'}

. Sử dụng công thức

{(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}

.
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm

f (x)

.
- Tính

f^{'} (x)

và tính

f^{'} (0)

.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có

x f^{'} (x) + (x + 1) f (x) = e^{- x}

\Leftrightarrow x e^{x} f^{'} (x) + (x + 1) e^{x} f (x) = 1

Ta có

{(x e^{x})}^{'} = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}

\Rightarrow x e^{x} f^{'} (x) + {(x e^{x})}^{'} f (x) = 1

\Leftrightarrow {[x e^{x} f (x)]}^{'} = 1 \Leftrightarrow \int {[x e^{x} f (x)]}^{'} d x = \int d x \Leftrightarrow x e^{x} f (x) = x + C

Thay

x = 0

ta có

0 = 0 + C \Leftrightarrow C = 0

, do đó

x e^{x} f (x) = x \Leftrightarrow x [e^{x} f (x) - 1] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f (x) = \frac{1}{e^{x}} = e^{- x} \end{array}

\Rightarrow f^{'} (x) = - e^{- x} \Rightarrow f^{'} (0) = - e^{0} = - 1

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn xf′(x)+(x+1)f(x)=e−x với...