Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $x{f}'\left( x \right)+\left( x+1 \right)f\left( x \right)={{e}^{-x}}$ với...

Phương pháp giải:
- Nhận thấy $\left( x+1 \right){{e}^{x}}={{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}$. Sử dụng công thức ${{\left( uv \right)}^{\prime }}={u}'v+u{v}'$.
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm $f\left( x \right)$.
- Tính ${f}'\left( x \right)$ và tính ${f}'\left( 0 \right)$.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có
$x{f}'\left( x \right)+\left( x+1 \right)f\left( x \right)={{e}^{-x}}$ $\Leftrightarrow x{{e}^{x}}{f}'\left( x \right)+\left( x+1 \right){{e}^{x}}f\left( x \right)=1$
Ta có ${{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}=\left( x+1 \right){{e}^{x}}$
$\Rightarrow x{{e}^{x}}{f}'\left( x \right)+{{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}f\left( x \right)=1$
$\Leftrightarrow {{\left[ x{{e}^{x}}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=1\Leftrightarrow \int{{{\left[ x{{e}^{x}}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}dx}=\int{dx}\Leftrightarrow x{{e}^{x}}f\left( x \right)=x+C$
Thay $x=0$ ta có $0=0+C\Leftrightarrow C=0$, do đó $x{{e}^{x}}f\left( x \right)=x\Leftrightarrow x\left[ {{e}^{x}}f\left( x \right)-1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{e}^{x}}}={{e}^{-x}} \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-{{e}^{-x}}\Rightarrow {f}'\left( 0 \right)=-{{e}^{0}}=-1$