Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \tan x \right)dx}=4$ và...

Phương pháp:
- Xét tích phân $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=4,$ sử dụng phương pháp đổi biến, đặt $t=\tan x.$
- Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}.$
Cách giải:
Xét $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=4.$
Đặt $t=\tan x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx=\left( 1+{{t}^{2}} \right)dx\Rightarrow \dfrac{dx}{1+{{t}^{2}}}=dx.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right., $ khi đó ta có: $ \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( t \right)}{1+{{t}^{2}}}dt}=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx}=4.$
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{x}^{2}}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=4+2=6.$