Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là $a,b,0,c\left( a<b<c \right)$ (như hình bên dưới). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+m \right|$ trên $\left[ a;c \right]$ bằng 2021. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng:
A. $-36$
B. $-2022$
C. $-2021$
D. 24
A. $-36$
B. $-2022$
C. $-2021$
D. 24
Gọi $\alpha ;\beta ;\gamma $ là các điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right).$ Có $\alpha ;\beta ;\gamma \in \left[ a;c \right].$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+m,$ có $h'\left( x \right)=2f'\left( x \right).f\left( x \right).$
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f'\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=b \\
& x=0 \\
& x=c \\
& x=\alpha \\
& x=\beta \\
& x=\gamma \\
\end{aligned} \right. $ các nghiệm này đều thuộc $ \left[ a;c \right].$
Ta có $f\left( a \right)=f\left( b \right)=f\left( 0 \right)=f\left( c \right)=0;f\left( \alpha \right)=-3;f\left( \beta \right)=2;f\left( \gamma \right)=-6$ nên
$h\left( a \right)=h\left( b \right)=h\left( 0 \right)=h\left( c \right)=m;h\left( \alpha \right)=m+9;h\left( \beta \right)=m+4;h\left( \gamma \right)=m+36.$
Vậy $\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=m+36,\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=m\Rightarrow \underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ \left| m+36 \right|;\left| m \right| \right\}$.
TH1: $m>0;\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\left| m+36 \right|=m+36,$ khi đó $m+36=2021\Leftrightarrow m=1985.$
TH2: $m+36<0\Leftrightarrow m<-36;\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\left| m \right|=-m,$ khi đó $-m=2021\Leftrightarrow m=-2021.$
TH3: $m<0<m+36\Leftrightarrow -36<m<0;\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ -m;m+36 \right\}\overset{m\in \left( -36;0 \right)}{\mathop{\ne }} 2021$ nên không tồn tại giá trị của $m.$
Vậy $S=\left\{ 1985;-2021 \right\}.$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+m,$ có $h'\left( x \right)=2f'\left( x \right).f\left( x \right).$
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f'\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=b \\
& x=0 \\
& x=c \\
& x=\alpha \\
& x=\beta \\
& x=\gamma \\
\end{aligned} \right. $ các nghiệm này đều thuộc $ \left[ a;c \right].$
Ta có $f\left( a \right)=f\left( b \right)=f\left( 0 \right)=f\left( c \right)=0;f\left( \alpha \right)=-3;f\left( \beta \right)=2;f\left( \gamma \right)=-6$ nên
$h\left( a \right)=h\left( b \right)=h\left( 0 \right)=h\left( c \right)=m;h\left( \alpha \right)=m+9;h\left( \beta \right)=m+4;h\left( \gamma \right)=m+36.$
Vậy $\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=m+36,\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=m\Rightarrow \underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ \left| m+36 \right|;\left| m \right| \right\}$.
TH1: $m>0;\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\left| m+36 \right|=m+36,$ khi đó $m+36=2021\Leftrightarrow m=1985.$
TH2: $m+36<0\Leftrightarrow m<-36;\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\left| m \right|=-m,$ khi đó $-m=2021\Leftrightarrow m=-2021.$
TH3: $m<0<m+36\Leftrightarrow -36<m<0;\underset{\left[ a;c \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ -m;m+36 \right\}\overset{m\in \left( -36;0 \right)}{\mathop{\ne }} 2021$ nên không tồn tại giá trị của $m.$
Vậy $S=\left\{ 1985;-2021 \right\}.$
Đáp án A.