Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên.
Bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left( -1 ; 4 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge 4-f\left( -1 \right)$.
B. $m\ge 3-f\left( 1 \right)$.
C. $m<4-f\left( -1 \right)$.
D. $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
A. $m\ge 4-f\left( -1 \right)$.
B. $m\ge 3-f\left( 1 \right)$.
C. $m<4-f\left( -1 \right)$.
D. $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Ta có, bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>6$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>{{\log }_{5}}\left( 5 \right)+5$.
Đặt: $t=f\left( x \right)+m+2, \left( t>0 \right)$.
$\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( t \right)+t>{{\log }_{5}}\left( 5 \right)+5$.
Ta xét, hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( t \right)+t, \left( t>0 \right)$.
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0, \forall t\in \left( 0 ; +\infty \right)$.
$\Rightarrow f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( t \right)+t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Ta có $f\left( t \right)>f\left( 5 \right)\Rightarrow t>5$.
Vậy, bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left( -1 ; 4 \right)$ khi và chỉ khi $f\left( x \right)+m+2>5, \forall x\in \left( -1 ;4 \right)\Leftrightarrow m>3-f\left( x \right), \forall x\in \left( -1 ;4 \right)$.
Dựa, vào đồ thị ${f}'\left( x \right)$ ta có:
$\int_{-1}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}<0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)-f\left( -1 \right)<0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)<f\left( -1 \right)$.
Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$, ta có BBT vủa hàm số $f\left( x \right)$ như sau
Vậy, hàm số $3-f\left( x \right)$ có BBT như sau.
Vậy, $m>3-f\left( x \right), \forall x\in \left( -1 ;4 \right)\Leftrightarrow $ $m\ge 3-f\left( 4 \right).$
Do đó, bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left( -1 ; 4 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>6$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>{{\log }_{5}}\left( 5 \right)+5$.
Đặt: $t=f\left( x \right)+m+2, \left( t>0 \right)$.
$\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( t \right)+t>{{\log }_{5}}\left( 5 \right)+5$.
Ta xét, hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( t \right)+t, \left( t>0 \right)$.
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0, \forall t\in \left( 0 ; +\infty \right)$.
$\Rightarrow f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( t \right)+t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Ta có $f\left( t \right)>f\left( 5 \right)\Rightarrow t>5$.
Vậy, bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left( -1 ; 4 \right)$ khi và chỉ khi $f\left( x \right)+m+2>5, \forall x\in \left( -1 ;4 \right)\Leftrightarrow m>3-f\left( x \right), \forall x\in \left( -1 ;4 \right)$.
Dựa, vào đồ thị ${f}'\left( x \right)$ ta có:
$\int_{-1}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}<0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)-f\left( -1 \right)<0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)<f\left( -1 \right)$.
Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$, ta có BBT vủa hàm số $f\left( x \right)$ như sau
Do đó, bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left( -1 ; 4 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Đáp án D.