Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y=f'\left( x \right)$ như hình dưới đây. Trên $\left[ -4;3 \right],$ hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào trong các điểm sau đây?
A. ${{x}_{0}}=-1.$
B. ${{x}_{0}}=-4.$
C. ${{x}_{0}}=3.$
D. ${{x}_{0}}=-3.$
* Ta có: $g'\left( x \right)=2.f'\left( x \right)-2\left( 1-x \right).$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=1-x.$
* Vẽ đường thẳng $d:y=1-x.$ Trên $\left[ -4;3 \right]$ ta thấy đường thẳng $d$ cắt đồ thị $y=f'\left( x \right)$ tại xác điểm $\left( -1;2 \right),\left( -4;5 \right),\left( 3;-2 \right).$
Dựa vào hình vẽ ta có: $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right..$
* Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$ trên đoạn $\left[ -4;3 \right].$
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ${{x}_{0}}=-1.$
A. ${{x}_{0}}=-1.$
B. ${{x}_{0}}=-4.$
C. ${{x}_{0}}=3.$
D. ${{x}_{0}}=-3.$
* Ta có: $g'\left( x \right)=2.f'\left( x \right)-2\left( 1-x \right).$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=1-x.$
* Vẽ đường thẳng $d:y=1-x.$ Trên $\left[ -4;3 \right]$ ta thấy đường thẳng $d$ cắt đồ thị $y=f'\left( x \right)$ tại xác điểm $\left( -1;2 \right),\left( -4;5 \right),\left( 3;-2 \right).$
Dựa vào hình vẽ ta có: $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right..$
* Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$ trên đoạn $\left[ -4;3 \right].$
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ${{x}_{0}}=-1.$
Đáp án A.