Cho hàm số $f\left(x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $f'\left(x \right)$ như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị...

Dựa vào đồ thị của hàm số $f'\left(x \right)$ ta thấy $f'\left(x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right. $ và $ f'\left(x \right)>0\Leftrightarrow x>2.$
Ta có: $y'=\left(2x-2m \right)f'\left({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+1 \right)=2\left(x-m \right)f'\left({{\left( x-m \right)}^{2}}+1 \right)$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-m=0 \\
& f'\left({{\left( x-m \right)}^{2}}+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& {{\left(x-m \right)}^{2}}+1=-1 \\
& {{\left(x-m \right)}^{2}}+1=2 \\
\end{aligned} \right.$
* ${{\left(x-m \right)}^{2}}+1=-1\Leftrightarrow {{\left(x-m \right)}^{2}}=-2\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.
* ${{\left(x-m \right)}^{2}}+1=2\Leftrightarrow {{\left(x-m \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-m=1 \\
& x-m=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m+1 \\
& x=m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Lại có: $f'\left({{\left( x-m \right)}^{2}}+1 \right)>0\Leftrightarrow {{\left(x-m \right)}^{2}}+1>2\Leftrightarrow {{\left(x-m \right)}^{2}}>1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-m>1 \\
& x-m<-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>m+1 \\
& x<m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:


Do đó, hàm số $y=f\left({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+1 \right)$ nghịch biến trên $\left(0;\dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-1\ge \dfrac{1}{2} \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m+1\ge \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{3}{2} \\
& -\dfrac{1}{2}\le m\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m$ nguyên và $m\in \left[ -5; 5 \right]\Rightarrow m\in S=\left\{ 0; 2; 3; 4; 5 \right\}.$
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $0+2+3+4+5=14$.