Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ và có đồ thị hàm số $f^{'} (x)$ như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

R

và có đồ thị hàm số

f^{'} (x)

như hình vẽ. Gọi

S

là tập hợp các giá trị nguyên của tham số

m \in [- 5; 5]

để hàm số

y = f (x^{2} - 2 m x + m^{2} + 1)

nghịch biến trên khoảng

(0; \frac{1}{2} .)

Tổng giá trị các phần tử của

S

bằng

A. 10.
B. 14.
C. -12.
D. 15.

Dựa vào đồ thị của hàm số

f^{'} (x)

ta thấy

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - 1 \\ x = 2 \end{aligned}

và

f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x > 2.

Ta có:

y^{'} = (2 x - 2 m) f^{'} (x^{2} - 2 m x + m^{2} + 1) = 2 (x - m) f^{'} ({(x - m)}^{2} + 1)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x - m = 0 \\ f^{'} ({(x - m)}^{2} + 1) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = m \\ {(x - m)}^{2} + 1 = - 1 \\ {(x - m)}^{2} + 1 = 2 \end{aligned}

*

{(x - m)}^{2} + 1 = - 1 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} = - 2 \Rightarrow

phương trình vô nghiệm.
*

{(x - m)}^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x - m = 1 \\ x - m = - 1 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = m + 1 \\ x = m - 1 \end{aligned}

Lại có:

f^{'} ({(x - m)}^{2} + 1) > 0 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} + 1 > 2 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} > 1 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x - m > 1 \\ x - m < - 1 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x > m + 1 \\ x < m - 1 \end{aligned}

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số

y = f (x^{2} - 2 m x + m^{2} + 1)

nghịch biến trên

(0; \frac{1}{2}) \Leftrightarrow [\begin{aligned} m - 1 \geq \frac{1}{2} \\ {\begin{aligned} m \leq 0 \\ m + 1 \geq \frac{1}{2} \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} m \geq \frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 0 \end{aligned}

Mà

m

nguyên và

m \in [- 5; 5] \Rightarrow m \in S = {0; 2; 3; 4; 5} .

Vậy tổng các phần tử của

S

là

0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14

.

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số f′(x) như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị...