Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn...

Phương pháp:
- Lấy đạo hàm hai vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)=x\forall x\in ~\mathbb{R},$ rút $f'\left( x \right)$ theo $f\left( x \right).~$
- Đặt t= f( x) , sử dụng phương pháp đổi biến.
Cách giải:
Lấy đạo hàm hai vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)=x\forall x\in ~\mathbb{R}$
ta có: $3{{f}^{2}}\left( x \right)f'\left( x \right)+f'\left( x \right)=1\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{3{{f}^{2}}\left( x \right)+1}~$
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow dt=f'\left( x \right)dx=\dfrac{1}{3{{f}^{2}}\left( x \right)+1}dx$
$\Rightarrow dx=\left[ 3{{f}^{2}}\left( x \right)+1 \right]dt=\left( 3{{t}^{2}}+1 \right)dt$
Đổi cận:
Với $x=0\Rightarrow t=f\left( 0 \right).~$
Ta có: ${{f}^{3}}\left( 0 \right)+f\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow f\left( 0 \right)=0\Rightarrow t=0.~$
Với $x=2\Rightarrow t=f\left( 2 \right).~$
Ta có ${{f}^{3}}\left( 2 \right)+f\left( 2 \right)=2\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=1\Rightarrow t=1.~$
Khi đó ta có: $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{t\left( 3{{t}^{2}}+1 \right)dt=\dfrac{5}{4}}}$