Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& x+m khi x\ge 0 \\
& {{e}^{2x}} khi x<0 \\
\end{aligned} \right. $ ($ m $ là hằng số). Biết $ \int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=a+b.{{e}^{-2}} $ trong đó $ a,b $là các số hữu tỷ. Tính $ a+b$
A. $1$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $0$.
& x+m khi x\ge 0 \\
& {{e}^{2x}} khi x<0 \\
\end{aligned} \right. $ ($ m $ là hằng số). Biết $ \int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=a+b.{{e}^{-2}} $ trong đó $ a,b $là các số hữu tỷ. Tính $ a+b$
A. $1$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $0$.
Do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục tại $x=0$ $\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f(0)$
$\Leftrightarrow m=1$
Khi đó ta có $\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)}\text{d}x+\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x$ $=\int\limits_{-1}^{0}{{{e}^{2x}}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{2}{\left( x+1 \right)}\text{d}x$
$=\left. \dfrac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{-1}^{0}+\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \right) \right|_{0}^{2}$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{{{e}^{-2}}}{2}+4=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}{{e}^{-2}}$
Do đó : $a=\dfrac{9}{2};b=-\dfrac{1}{2}$
Vậy $a+b=4$.
$\Leftrightarrow m=1$
Khi đó ta có $\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)}\text{d}x+\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x$ $=\int\limits_{-1}^{0}{{{e}^{2x}}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{2}{\left( x+1 \right)}\text{d}x$
$=\left. \dfrac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{-1}^{0}+\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \right) \right|_{0}^{2}$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{{{e}^{-2}}}{2}+4=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}{{e}^{-2}}$
Do đó : $a=\dfrac{9}{2};b=-\dfrac{1}{2}$
Vậy $a+b=4$.
Đáp án D.