Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(x \right)+f\left(1-x \right)={{x}^{2}}{{\left( 1-x...

Phương pháp:
- Lấy tích phân hai vế.
- Sử dụng phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của phương trình $f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)={{x}^{2}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}\forall x\in \mathbb{R}$ ta có:
$\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}dx}=\dfrac{1}{30}\left( * \right).$

Xét $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}.$
Đặt $t=1-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow dx=-dt$
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=1\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=-\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Thay vào (*) ta có $2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{60}.$