Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $\int\limits_{0}^{2021}{f\left( x \right)dx}=2.$ Khi đó tích phân $\int\limits_{0}^{\sqrt{{{e}^{2021}}-1}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)dx}$ bằng
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Đặt $t=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)\Rightarrow dt=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}dx\Rightarrow \dfrac{1}{2}dt=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}dx.$
Đổi cận:
Với $x=\sqrt{{{e}^{2021}}-1}\Rightarrow t=2021.$
$x=0\Rightarrow t=0.$
Ta có: $\int\limits_{0}^{\sqrt{{{e}^{2021}}-1}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)dx}=\int\limits_{0}^{2021}{\dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2021}{f\left( x \right)dx}=1.$
Đổi cận:
Với $x=\sqrt{{{e}^{2021}}-1}\Rightarrow t=2021.$
$x=0\Rightarrow t=0.$
Ta có: $\int\limits_{0}^{\sqrt{{{e}^{2021}}-1}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)dx}=\int\limits_{0}^{2021}{\dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2021}{f\left( x \right)dx}=1.$
Đáp án C.