The Collectors

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ...

Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ
image22.png
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn $10$ của tham số $m$ để phương trình $f\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)=f\left( {{2}^{m}}+{{2}^{-m}} \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt?
A. $6$.
B. $7$.
C. $9$.
D. $4$.
Đặt ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=t$. Ta có phương trình $f\left( t \right)=f\left( {{2}^{m}}+{{2}^{-m}} \right)$
Do ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}\ge 2$ nên $t\ge 2$.
Ứng với mỗi giá trị của $t<2$ thì phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=t$ vô nghiệm.
Ứng với mỗi giá trị của $t=2$ thì phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=t$ có đúng một nghiệm.
Ứng với mỗi giá trị của $t>2$ thì phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=t$ có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình $f\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)=f\left( {{2}^{m}}+{{2}^{-m}} \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi phương trình $f\left( t \right)=f\left( {{2}^{m}}+{{2}^{-m}} \right)$ có đúng một nghiệm $t>2$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có phương trình $f\left( t \right)=f\left( {{2}^{m}}+{{2}^{-m}} \right)$ có đúng một nghiệm $t>2$ khi $\left[ \begin{aligned}
& f\left( {{2}^{m}}+{{2}^{-m}} \right)=-2 \\
& f\left( {{2}^{m}}+{{2}^{-m}} \right)>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{m}}+{{2}^{-m}}=\dfrac{5}{2} \\
& {{2}^{m}}+{{2}^{-m}}>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{2m}}-\dfrac{5}{2}{{.2}^{m}}+1=0\left( 1 \right) \\
& {{2}^{2m}}-{{3.2}^{m}}+1>0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình ${{2}^{2m}}-\dfrac{5}{2}{{.2}^{m}}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{m}}=2 \\
& {{2}^{m}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét bất phương trình $2^{2 m}-3.2^m+1>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2^m>\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \\ 2^m<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>\log _2\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \\ m<\log _2\left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\end{array}\right.\right.$​
Do $m$ là số nguyên dương nhỏ hơn $10$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$ $\Rightarrow $ có $9$ giá trị của $m$.
Đáp án C.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top