Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 2 ;4 \right]$ và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=m.f\left( x \right)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 2 ;4 \right]$ ?
A. $6$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $5$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=m.f\left( x \right)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 2 ;4 \right]$ ?
A. $6$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $5$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ trên đoạn $\left[ 2 ;4 \right]$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=1+\dfrac{2x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$, ${g}'\left( x \right)>0\forall x\in \left( 2 ;4 \right]$ và $g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 2 ;4 \right]$ nên hàm số $g\left( x \right)=x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ đồng biến trên đoạn $\left[ 2 ;4 \right]$.
Do đó $\underset{\left[ 2 ;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=2>0$, $\underset{\left[ 2 ;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 4 \right)=4+4\sqrt{2}$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 2 ;4 \right]$ ta có $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 4 \right)=2>0$, $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4$.
Suy ra $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{g\left( 2 \right)}{f\left( 2 \right)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} \dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{g\left( 4 \right)}{f\left( 4 \right)}=\dfrac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}$.
Do hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 2;4 \right]$ và $f\left( x \right)>0$ $\forall x\in \left[ 2 ;4 \right]$ nên hàm số $\dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}$ liên tục trên $\left[ 2 ;4 \right]$.
Phương trình đã cho có nghiệm trên $\left[ 2 ;4 \right]$ $\Leftrightarrow $ Phương trình $\dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}=m$ có nghiệm trên $\left[ 2 ;4 \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\le m\le 2+2\sqrt{2}$.
Do đó tập hợp các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán là $\left\{ 1 ;2 ;3 ;4 \right\}$. Vậy có 4 giá trị $m$ thỏa đề bài.
Ta có ${g}'\left( x \right)=1+\dfrac{2x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$, ${g}'\left( x \right)>0\forall x\in \left( 2 ;4 \right]$ và $g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 2 ;4 \right]$ nên hàm số $g\left( x \right)=x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ đồng biến trên đoạn $\left[ 2 ;4 \right]$.
Do đó $\underset{\left[ 2 ;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=2>0$, $\underset{\left[ 2 ;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 4 \right)=4+4\sqrt{2}$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 2 ;4 \right]$ ta có $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 4 \right)=2>0$, $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4$.
Suy ra $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{g\left( 2 \right)}{f\left( 2 \right)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} \dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{g\left( 4 \right)}{f\left( 4 \right)}=\dfrac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}$.
Do hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 2;4 \right]$ và $f\left( x \right)>0$ $\forall x\in \left[ 2 ;4 \right]$ nên hàm số $\dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}$ liên tục trên $\left[ 2 ;4 \right]$.
Phương trình đã cho có nghiệm trên $\left[ 2 ;4 \right]$ $\Leftrightarrow $ Phương trình $\dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}=m$ có nghiệm trên $\left[ 2 ;4 \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\le m\le 2+2\sqrt{2}$.
Do đó tập hợp các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán là $\left\{ 1 ;2 ;3 ;4 \right\}$. Vậy có 4 giá trị $m$ thỏa đề bài.
Đáp án C.