Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ và thỏa mãn $2 f (x) + x f (\frac{1}{x}) = x$ với mọi...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

(0; + \infty)

và thỏa mãn

2 f (x) + x f (\frac{1}{x}) = x

với mọi

x > 0

. Tính

\int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d x

.
A.

\frac{7}{12}

B.

\frac{7}{4}

C.

\frac{9}{4}

D.

\frac{3}{4}

Phương pháp giải:
- Thay

x = \frac{1}{t}

, sau đó rút

f (\frac{1}{x})

theo

f (x)

và thế vào giả thiết.
- Tìm

f (x)

theo x và tính

\int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d x

bằng phương pháp tích phân 2 vế.
Giải chi tiết:
Ta có:

2 f (x) + x f (\frac{1}{x}) = x

, với

x = \frac{1}{t}

ta có

2 f (\frac{1}{t}) + \frac{1}{t} f (t) = \frac{1}{t}

\Rightarrow f (\frac{1}{t}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{t} - \frac{1}{t} f (t))

\Rightarrow f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x} f (x))

Khi đó ta có

2 f (x) + \frac{1}{2} x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x} f (x)) = x \Leftrightarrow 2 f (x) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} f (x) = x

\Leftrightarrow \frac{3}{2} f (x) = x - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x - \frac{1}{2}) d x

\Leftrightarrow \frac{3}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d x = \frac{9}{8} \Leftrightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d x = \frac{3}{4}

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) liên tục trên (0;+∞) và thỏa mãn 2f(x)+xf(1x)=x với mọi...