Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $2f\left( x \right)+xf\left( \dfrac{1}{x} \right)=x$ với mọi...

Phương pháp giải:
- Thay $x=\dfrac{1}{t}$, sau đó rút $f\left( \dfrac{1}{x} \right)$ theo $f\left( x \right)$ và thế vào giả thiết.
- Tìm $f\left( x \right)$ theo x và tính $\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{f\left( x \right)dx}$ bằng phương pháp tích phân 2 vế.
Giải chi tiết:
Ta có: $2f\left( x \right)+xf\left( \dfrac{1}{x} \right)=x$, với $x=\dfrac{1}{t}$ ta có $2f\left( \dfrac{1}{t} \right)+\dfrac{1}{t}f\left( t \right)=\dfrac{1}{t}$ $\Rightarrow f\left( \dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t}f\left( t \right) \right)$
$\Rightarrow f\left( \dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}f\left( x \right) \right)$
Khi đó ta có
$2f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}x\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}f\left( x \right) \right)=x\Leftrightarrow 2f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}f\left( x \right)=x$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}f\left( x \right)=x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{9}{8}\Leftrightarrow \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{3}{4}$