Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right).$ Biết $\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f'\left( x...

Vì $\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f'\left( x \right)\ln x,$ nên ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{'}}=f'\left( x \right)\ln x\Leftrightarrow -\dfrac{2}{{{x}^{3}}}=f'\left( x \right)\ln x$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=\dfrac{1}{x}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=f'\left( x \right)dx \\
& v=\ln x \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó: $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( x \right)}{x}dx}=f\left( x \right).\ln \left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{1}^{2}{f'\left( x \right)\ln xdx}=f\left( 2 \right).\ln \left( 2 \right)+\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{2}{{{x}^{3}}}dx}=\dfrac{1}{\ln 2}.\ln 2-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.$
$=1-\left( \dfrac{1}{{{2}^{2}}}-1 \right)=\dfrac{7}{4}.$