Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $(0; + \infty) .$ Biết $\frac{1}{x^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f'\left( x...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

(0; + \infty) .

Biết

\frac{1}{x^{2}}

là một nguyên hàm của hàm số

y = f^{'} (x) \ln x

và

f (2) = \frac{1}{\ln 2} .

Khi đó,

\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x} d x

bằng
A.

- \frac{7}{4} .

B.

\frac{1}{2} .

C.

- \frac{1}{2} .

D.

\frac{7}{4} .

Vì

\frac{1}{x^{2}}

là một nguyên hàm của hàm số

y = f^{'} (x) \ln x,

nên

{(\frac{1}{x^{2}})}^{^{'}} = f^{'} (x) \ln x \Leftrightarrow - \frac{2}{x^{3}} = f^{'} (x) \ln x

Đặt

{\begin{aligned} u = f (x) \\ d v = \frac{1}{x} d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = f^{'} (x) d x \\ v = \ln x \end{aligned} .

Khi đó:

\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = f (x) . \ln (x) | \begin{aligned} 2 \\ 1 \end{aligned} - \int_{1}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = f (2) . \ln (2) + \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{3}} d x = \frac{1}{\ln 2} . \ln 2 - \frac{1}{x^{2}} | \begin{aligned} 2 \\ 1 \end{aligned}

= 1 - (\frac{1}{2^{2}} - 1) = \frac{7}{4} .

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) liên tục trên (0;+∞). Biết 1x2 là một nguyên hàm của hàm số $y=f'\left( x...