Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-m \right)\left| x-2 \right|+\left( m+6 \right)x-2{{x}^{2}}$ ( $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị...

Cách giải:
Ta có:
$f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-m \right)\left| x-2 \right|+\left( m+6 \right)x-2{{x}^{2}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=2x\left| x-2 \right|+\left( {{x}^{2}}-m \right).\dfrac{x-2}{\left| x-2 \right|}-4x+m+6$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\left[ \begin{aligned}
& 2x\left( x-2 \right)+{{x}^{2}}-m-4x+m+6=3{{x}^{2}}-8x+6\text{ khi }x>2 \\
& -2x\left( x-2 \right)-{{x}^{2}}+m-4x+m+6=-3{{x}^{2}}+2m+6\text{ khi }x<2 \\
\end{aligned} \right.$
Với $x=2\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8x+6>0\forall x>2.$
Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì phương trình $-3{{x}^{2}}+2m+6=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{2m+6}{3}$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<2\left( * \right).$
Ta có BXD $f'\left( x \right)$ như sau:

Khi đó hàm số ban đầu sẽ thỏa mãn có 3 điểm cực trị.
Ta có $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2m+6}{3}>0 \\
& \sqrt{\dfrac{2m+6}{3}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-3 \\
& \dfrac{2m+6}{3}<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m<3.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}.$
Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.