Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x \right)=\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)\left(x-3 \right)...\left(x-20 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020; 2020 \right]$ để phương trình ${f}'\left(x \right)=mf\left(x \right)$ có $2020$ nghiệm phân biệt ?
A. $2021$.
B. $4040$.
C. $4041$.
D. $2020$.
A. $2021$.
B. $4040$.
C. $4041$.
D. $2020$.
Ta có: ${f}'\left(x \right)=\left(x-2 \right)\left(x-3 \right)...\left(x-2020 \right)+\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)...\left(x-2020 \right)+...+\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)...\left(x-2019 \right)$
Dễ thấy phương trình ${f}'\left(x \right)=mf\left(x \right) (1)$ không có nghiệm $x\in \left\{ 1; 2; 3;...; 2020 \right\}$.
Xét hàm số $g\left(x \right)=\frac{{f}'\left(x \right)}{f\left(x \right)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+...+\frac{1}{x-2020}$ $\forall x\notin \left\{ 1; 2; 3;...; 2020 \right\}$
${g}'\left(x \right)=-\frac{1}{{{\left(x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left(x-3 \right)}^{2}}}-...-\frac{1}{{{\left(x-2020 \right)}^{2}}}<0\forall x\notin \left\{ 1; 2; 3;...; 2020 \right\}$
Bảng biến thiên:
Để phương trình $(1)$ đã cho có 2020 nghiệm thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=g\left(x \right)$ tại 2020 điểm phân biệt. Nhìn vào BBT ta thấy : $m>0$ hoặc $m<0$ tức là $m\ne 0$.
Vậy có 4020 giá nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020; 2020 \right]$ để phương trình ${f}'\left(x \right)=mf\left(x \right)$ có $2020$ nghiệm phân biệt.
Dễ thấy phương trình ${f}'\left(x \right)=mf\left(x \right) (1)$ không có nghiệm $x\in \left\{ 1; 2; 3;...; 2020 \right\}$.
Xét hàm số $g\left(x \right)=\frac{{f}'\left(x \right)}{f\left(x \right)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+...+\frac{1}{x-2020}$ $\forall x\notin \left\{ 1; 2; 3;...; 2020 \right\}$
${g}'\left(x \right)=-\frac{1}{{{\left(x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left(x-3 \right)}^{2}}}-...-\frac{1}{{{\left(x-2020 \right)}^{2}}}<0\forall x\notin \left\{ 1; 2; 3;...; 2020 \right\}$
Bảng biến thiên:
Để phương trình $(1)$ đã cho có 2020 nghiệm thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=g\left(x \right)$ tại 2020 điểm phân biệt. Nhìn vào BBT ta thấy : $m>0$ hoặc $m<0$ tức là $m\ne 0$.
Vậy có 4020 giá nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020; 2020 \right]$ để phương trình ${f}'\left(x \right)=mf\left(x \right)$ có $2020$ nghiệm phân biệt.
Đáp án B.