Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( m-1 \right){{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1$ với $m$ là tham số thực. Nếu $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ thì $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)$ bằng
A. $-\dfrac{13}{3}.$
B. $4\cdot $
C. $-\dfrac{14}{3}\cdot $
D. $1\cdot $
A. $-\dfrac{13}{3}.$
B. $4\cdot $
C. $-\dfrac{14}{3}\cdot $
D. $1\cdot $
Có: ${f}'\left( x \right)=4\left( m-1 \right){{x}^{3}}-4mx$.
Nếu $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ thì điều kiện cần là ${f}'\left( 2 \right)=0$ (Do $f\left( x \right)$ là hàm đa thức)
Suy ra ${f}'\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}$.
Điều kiện đủ: Với $m=\dfrac{4}{3}$, ta có $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}+1$ ; ${f}'\left( x \right)=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{16}{3}x$
Nên ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=-2\notin \left( 0;3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f\left( 0 \right)=1;f\left( 3 \right)=4;f\left( 2 \right)=-\dfrac{13}{3}$. Vậy $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ ; $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=4$
Nếu $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ thì điều kiện cần là ${f}'\left( 2 \right)=0$ (Do $f\left( x \right)$ là hàm đa thức)
Suy ra ${f}'\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}$.
Điều kiện đủ: Với $m=\dfrac{4}{3}$, ta có $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}+1$ ; ${f}'\left( x \right)=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{16}{3}x$
Nên ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=-2\notin \left( 0;3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f\left( 0 \right)=1;f\left( 3 \right)=4;f\left( 2 \right)=-\dfrac{13}{3}$. Vậy $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ ; $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=4$
Đáp án B.