Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{\text{e}}^{x}}+m \text{khi} x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}} \text{khi} x<0 \\
\end{aligned} \right. $ (với $ m $ là tham số). Biết hàm số $ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=a.\text{e}-\dfrac{b}{c} $ với $ a $, $ b $, $ c $ $ \in {{\mathbb{N}}^{*}} $; $ \dfrac{b}{c} $ tối giản ($ \text{e}=2,718281828 $). Biểu thức $ a+b+c+m$ bằng
A. $13$.
B. $35$.
C. $-11$.
D. $36$.
Ta có với $\forall x>0$ khi đó $f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}+m$ hoặc $\forall x<0$ khi đó $f\left( x \right)={{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}$ nên hàm số $y=f\left( x \right)$ đã liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ; 0 \right)$ và $\left( 0; +\infty \right)$ với mọi giá trị của tham số $m$.
Xét tại $x=0$, ta được:
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{\text{e}}^{x}}+m \right)=1+m$ ; $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left[ {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}} \right]=0$ và $f\left( 0 \right)=1+m$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi liên tục tại $x=0$ $\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$
$\Leftrightarrow 1+m=0\Leftrightarrow m=-1$.
Khi đó $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=I+J$ trong đó:
$I=\int\limits_{-1}^{0}{{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}x}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{-1}^{0}{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}\left( {{x}^{3}}+1 \right)}$ $=\left. \dfrac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{4}}}{12} \right|_{-1}^{0}=\dfrac{1}{12}$.
$J=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)\text{d}x}=\left. \left( {{\text{e}}^{x}}-x \right) \right|_{0}^{1}=\text{e}-2$.
Từ đó ta được $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\text{e}-2+\dfrac{1}{12}=1.\text{e}-\dfrac{23}{12}$.
Từ đó ta tìm được $a=1; b=23; c=12; m=-1$ nên $a+b+c+m=1+23+12+\left( -1 \right)=35$.
& {{\text{e}}^{x}}+m \text{khi} x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}} \text{khi} x<0 \\
\end{aligned} \right. $ (với $ m $ là tham số). Biết hàm số $ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=a.\text{e}-\dfrac{b}{c} $ với $ a $, $ b $, $ c $ $ \in {{\mathbb{N}}^{*}} $; $ \dfrac{b}{c} $ tối giản ($ \text{e}=2,718281828 $). Biểu thức $ a+b+c+m$ bằng
A. $13$.
B. $35$.
C. $-11$.
D. $36$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.Ta có với $\forall x>0$ khi đó $f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}+m$ hoặc $\forall x<0$ khi đó $f\left( x \right)={{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}$ nên hàm số $y=f\left( x \right)$ đã liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ; 0 \right)$ và $\left( 0; +\infty \right)$ với mọi giá trị của tham số $m$.
Xét tại $x=0$, ta được:
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{\text{e}}^{x}}+m \right)=1+m$ ; $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left[ {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}} \right]=0$ và $f\left( 0 \right)=1+m$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi liên tục tại $x=0$ $\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$
$\Leftrightarrow 1+m=0\Leftrightarrow m=-1$.
Khi đó $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=I+J$ trong đó:
$I=\int\limits_{-1}^{0}{{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}x}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{-1}^{0}{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}\left( {{x}^{3}}+1 \right)}$ $=\left. \dfrac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{4}}}{12} \right|_{-1}^{0}=\dfrac{1}{12}$.
$J=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)\text{d}x}=\left. \left( {{\text{e}}^{x}}-x \right) \right|_{0}^{1}=\text{e}-2$.
Từ đó ta được $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\text{e}-2+\dfrac{1}{12}=1.\text{e}-\dfrac{23}{12}$.
Từ đó ta tìm được $a=1; b=23; c=12; m=-1$ nên $a+b+c+m=1+23+12+\left( -1 \right)=35$.
Đáp án B.