Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| 3{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x+m+2...

Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x+m+2,$ ta có:
$g'\left( x \right)=9{{x}^{2}}-18x+12=9{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3>0$
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;3 \right].$
Suy ra: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=m+8,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=m+38.$
Vì $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( x \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:
$f\left( x \right)>0\forall x\in \left[ 1;3 \right],$ suy ra: $g\left( 1 \right).g\left( 3 \right)>0\Leftrightarrow \left( m+8 \right)\left( m+38 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>-8 \\
& m<-38 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra trên đoạn $\left[ -20;30 \right]$ thì $m>-8.$
$f\left( 1 \right)=\left| 8+m \right|=m+8,f\left( 2 \right)=\left| 14+m \right|=m+14,f\left( 3 \right)=\left| 38+m \right|=m+38.$
Mặt khác với mọi số thực $a,b,c\in \left[ 1;3 \right]$ thì $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( x \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi $f\left( 1 \right),f\left( 1 \right),f\left( 3 \right)$ cũng là độ dài ba cạnh của tam giác.
$\Leftrightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)>f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2m+16>m+38\Leftrightarrow m>22.$
Với $m\in \left[ -20;30 \right]$ thì ta có 8 giá trị nguyên.