Cho hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số...

Nhận thấy ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{5}^{x}}+{{7}^{x}}-28{{x}^{2}}+16x-3$.
Khi đó ${F}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{5}^{x}}+{{7}^{x}}-28{{x}^{2}}+16x-3=0$.
Có ${f}'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3+{{5}^{x}}\ln 5+{{7}^{x}}\ln 7-46x+16=0\Leftrightarrow {{3}^{x}}\ln 3+{{5}^{x}}\ln 5+{{7}^{x}}\ln 7=46x-16 \left( * \right)$.
Nhận xét: Vế trái và vế phải của phương trình $\left( * \right)$ đều là các hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên chúng cắt nhau tại ít nhất hai điểm.
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ có nhiều nhất là $2$ điểm cực trị $\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có nhiều nhất $3$ nghiệm.
Mặt khác: $f\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)$ nên $x\in \!\!\{\!\!1;0;2\}$ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=\left( 12{{x}^{2}}+2mx \right).{F}'\left( 4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+1 \right)=2x.\left( 6x+m \right).f\left( 4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+1 \right)$.
Phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 6x+m=0 \\
& 4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+1=1 \\
& 4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+1=0 \\
& 4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-\dfrac{m}{6} \left( 3 \right) \\
& x=-\dfrac{m}{4} \left( 4 \right) \\
& 4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}=-1 \left( 1 \right) \\
& 4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}=1 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$.
Nếu $m=0$ thì phương trình $\left( 3 \right) ; \left( 4 \right)$ cho hai nghiệm lẻ là $x=0$ nên phương trình cho nghiệm lẻ $x=0$. Mỗi phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ cho một nghiệm duy nhất nên hệ có $3$ nghiệm (không thỏa mãn)
Nếu $m\ne 0$ và $x=-\dfrac{m}{6}$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ hoặc $\left( 2 \right)$ thì hệ cho một nghiệm duy nhất.
Xét hàm số:$h\left( x \right)=4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}\Rightarrow {h}'\left( x \right)=12{{x}^{2}}+2mx=0\Leftrightarrow 2x\left( 6x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-\dfrac{m}{6} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m>0$ thì ta có bảng biến thiên như sau:
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{3}}}{108}\le 1\xrightarrow{m>0}m\in \!\!\{\!\!\text{ 1;2;3;4 }\!\!\}\!\!$.
Với $m<0$ thì ta có bảng biến thiên như sau:
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{3}}}{108}\ge -1\xrightarrow{m<0}m\in \!\!\{\!\!-\text{4;}-\text{3;}-\text{2;}-\text{1 }\!\!\}\!\!$.
Vậy có tất cả $8$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.