Cho hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số...

Nhận thấy .
Khi đó .
Có .
Nhận xét: Vế trái và vế phải của phương trình đều là các hàm số đồng biến trên nên chúng cắt nhau tại ít nhất hai điểm.
Suy ra hàm số có nhiều nhất là điểm cực trị có nhiều nhất nghiệm.
Mặt khác: nên là nghiệm của phương trình .
Ta có: .
Phương trình
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình và .
Nếu thì phương trình cho hai nghiệm lẻ là nên phương trình cho nghiệm lẻ . Mỗi phương trình và cho một nghiệm duy nhất nên hệ có nghiệm (không thỏa mãn)
Nếu và là nghiệm của phương trình hoặc thì hệ cho một nghiệm duy nhất.
Xét hàm số:.
Với thì ta có bảng biến thiên như sau:
Yêu cầu bài toán .
Với thì ta có bảng biến thiên như sau:
Yêu cầu bài toán .
Vậy có tất cả giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.