Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+3x+1 \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $f\left( x-1 \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\dfrac{1}{4};0 \right)$
B. $\left( 2;3 \right)$
C. $\left( 0;1 \right)$
D. $\left( 3;+\infty \right)$
A. $\left( -\dfrac{1}{4};0 \right)$
B. $\left( 2;3 \right)$
C. $\left( 0;1 \right)$
D. $\left( 3;+\infty \right)$
Cách giải:
Chú ý ${{t}^{2}}+3t+1\ge -\dfrac{5}{4}$ và ta chỉ xét $x-1\ge -\dfrac{5}{4},$ do đó có thể đặt $x-1={{t}^{2}}+3t+1.$
Ta có: $g'\left( t \right)=\left( 2t+3 \right)f'\left( {{t}^{2}}+3t+1 \right)$
Suy ra với $t>-\dfrac{3}{2}$ thì $g'\left( t \right)$ và $f'\left( {{t}^{2}}+3t+1 \right)$ cùng dấu. Ta có bảng biến thiên của ${{t}^{2}}+3t+1.$
Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy $g'\left( t \right)<0$ khi $-1<t<0,$ suy ra $f'\left( {{t}^{2}}+3t+1 \right)<0$ khi $-1<t<0$ nên $f'\left( x-1 \right)<0$ khi $-1<x-1<0$ hay $f\left( f\left( x-1 \right) \right)<0$ khi $0<x<1.$
Chú ý ${{t}^{2}}+3t+1\ge -\dfrac{5}{4}$ và ta chỉ xét $x-1\ge -\dfrac{5}{4},$ do đó có thể đặt $x-1={{t}^{2}}+3t+1.$
Ta có: $g'\left( t \right)=\left( 2t+3 \right)f'\left( {{t}^{2}}+3t+1 \right)$
Suy ra với $t>-\dfrac{3}{2}$ thì $g'\left( t \right)$ và $f'\left( {{t}^{2}}+3t+1 \right)$ cùng dấu. Ta có bảng biến thiên của ${{t}^{2}}+3t+1.$
Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy $g'\left( t \right)<0$ khi $-1<t<0,$ suy ra $f'\left( {{t}^{2}}+3t+1 \right)<0$ khi $-1<t<0$ nên $f'\left( x-1 \right)<0$ khi $-1<x-1<0$ hay $f\left( f\left( x-1 \right) \right)<0$ khi $0<x<1.$
Đáp án C.