Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình sau.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $2f(\sin x-2)-\frac{2{{\sin }^{3}}x}{3}+\sin x>m+\frac{5\cos 2x}{4}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$.
A. $m\le 2f(-3)+\frac{11}{12}$
B. $m<2f(-1)+\frac{19}{12}$
C. $m\le 2f(-1)+\frac{19}{12}$
D. $m<2f(-3)+\frac{11}{12}$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $2f(\sin x-2)-\frac{2{{\sin }^{3}}x}{3}+\sin x>m+\frac{5\cos 2x}{4}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$.
A. $m\le 2f(-3)+\frac{11}{12}$
B. $m<2f(-1)+\frac{19}{12}$
C. $m\le 2f(-1)+\frac{19}{12}$
D. $m<2f(-3)+\frac{11}{12}$.
Đặt $\sin x-2=t$, $x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ $\Rightarrow $ $t\in \left( -3;-1 \right)$
$\Rightarrow \sin x=t+2$
Bất phương trình đã cho trở thành :
$2f\left( t \right)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+\left( t+2 \right)>m+\frac{5\left[ 1-2{{(t+2)}^{2}} \right]}{4}$
$\Leftrightarrow 2f(t)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+t+2-\frac{5\left( 1-2{{t}^{2}}-8t-8 \right)}{4}>m$
$\Leftrightarrow 2f(t)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+t+2+\frac{10{{t}^{2}}+40t+35}{4}>m$
$\Leftrightarrow 2f\left( t \right)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+(t+2)+\frac{5}{2}{{\left( t+2 \right)}^{2}}-\frac{5}{4}>m$
$\Leftrightarrow f(t)-\frac{{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+\frac{5}{4}{{\left( t+2 \right)}^{2}}+\frac{1}{2}\left( t+2 \right)-\frac{5}{8}>\frac{m}{2}$ (*)
Xét $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\frac{{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+\frac{5}{4}{{\left( t+2 \right)}^{2}}+\frac{1}{2}\left( t+2 \right)-\frac{5}{8}$ trên $\left( -3 ; -1 \right)$
$g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-{{\left( t+2 \right)}^{2}}+\frac{5}{2}\left( t+2 \right)+\frac{1}{2}$
$=f'\left( t \right)-{{t}^{2}}-4t-4+\frac{5}{2}t+5+\frac{1}{2}$
$=f'\left( t \right)-({{t}^{2}}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2})$
$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)-({{t}^{2}}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2})=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}$
Dựa vào đồ thị ta có $g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-3 \\
& t=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ g'\left( t \right)<0 \forall t\in \left( -3; -1 \right)$
Ta có BBT:
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ $\Leftrightarrow $ bpt (*) nghiệm đúng với mọi $t\in \left( -3;-1 \right)$
$\Leftrightarrow $ $\frac{m}{2}\le g\left( -1 \right)$ $\Leftrightarrow \frac{m}{2}\le f\left( -1 \right)+\frac{19}{24}$
$\Leftrightarrow m\le 2.f\left( -1 \right)+\frac{19}{12}$.
$\Rightarrow \sin x=t+2$
Bất phương trình đã cho trở thành :
$2f\left( t \right)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+\left( t+2 \right)>m+\frac{5\left[ 1-2{{(t+2)}^{2}} \right]}{4}$
$\Leftrightarrow 2f(t)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+t+2-\frac{5\left( 1-2{{t}^{2}}-8t-8 \right)}{4}>m$
$\Leftrightarrow 2f(t)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+t+2+\frac{10{{t}^{2}}+40t+35}{4}>m$
$\Leftrightarrow 2f\left( t \right)-\frac{2.{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+(t+2)+\frac{5}{2}{{\left( t+2 \right)}^{2}}-\frac{5}{4}>m$
$\Leftrightarrow f(t)-\frac{{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+\frac{5}{4}{{\left( t+2 \right)}^{2}}+\frac{1}{2}\left( t+2 \right)-\frac{5}{8}>\frac{m}{2}$ (*)
Xét $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\frac{{{\left( t+2 \right)}^{3}}}{3}+\frac{5}{4}{{\left( t+2 \right)}^{2}}+\frac{1}{2}\left( t+2 \right)-\frac{5}{8}$ trên $\left( -3 ; -1 \right)$
$g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-{{\left( t+2 \right)}^{2}}+\frac{5}{2}\left( t+2 \right)+\frac{1}{2}$
$=f'\left( t \right)-{{t}^{2}}-4t-4+\frac{5}{2}t+5+\frac{1}{2}$
$=f'\left( t \right)-({{t}^{2}}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2})$
$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)-({{t}^{2}}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2})=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}$
Dựa vào đồ thị ta có $g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-3 \\
& t=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ g'\left( t \right)<0 \forall t\in \left( -3; -1 \right)$
Ta có BBT:
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ $\Leftrightarrow $ bpt (*) nghiệm đúng với mọi $t\in \left( -3;-1 \right)$
$\Leftrightarrow $ $\frac{m}{2}\le g\left( -1 \right)$ $\Leftrightarrow \frac{m}{2}\le f\left( -1 \right)+\frac{19}{24}$
$\Leftrightarrow m\le 2.f\left( -1 \right)+\frac{19}{12}$.
Đáp án C.