Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right).$ Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)\le {{e}^{{{x}^{2}}}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( -1 \right)-e.$
B. $m\ge f\left( 0 \right)-1.$
C. $m>f\left( 0 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( -1 \right)-e.$
Bất phương trình $f\left( x \right)\le {{e}^{{{x}^{2}}}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( -1 \right)-e.$
B. $m\ge f\left( 0 \right)-1.$
C. $m>f\left( 0 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( -1 \right)-e.$
$f\left( x \right)\le {{e}^{{{x}^{2}}}}+m,\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}}\le m,\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}}$ trên $\left( -1;1 \right).$
+ Lập bảng biến thiên hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;1 \right].$
Ta có $\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=f\left( 0 \right).$
+ Khi $x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}\in \left[ 0;1 \right)\Rightarrow {{e}^{{{x}^{2}}}}\in \left[ 1;e \right)\Rightarrow \underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{Max}} \left( -{{e}^{{{x}^{2}}}} \right)=-1$
Suy ra $\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-1.$
Vậy $m\ge f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}},\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 0 \right)-1.$
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}}$ trên $\left( -1;1 \right).$
+ Lập bảng biến thiên hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;1 \right].$
Ta có $\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=f\left( 0 \right).$
+ Khi $x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}\in \left[ 0;1 \right)\Rightarrow {{e}^{{{x}^{2}}}}\in \left[ 1;e \right)\Rightarrow \underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{Max}} \left( -{{e}^{{{x}^{2}}}} \right)=-1$
Suy ra $\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-1.$
Vậy $m\ge f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}},\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 0 \right)-1.$
Đáp án B.