Cho hàm số $f\left( x \right)$, hàm số $f'\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$ có đồ thị như hình vẽ...

Phương pháp:
- Dựa vào các điểm thuộc đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right),$ lập hệ phương trình giải tìm $a,b,c.$
- Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=f\left( f'\left( x \right) \right)$ và suy ra các khoảng đồng biến của hàm số.
Cách giải:
Đồ thị hàm số $f'\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( -1;0 \right),\left( 0;0 \right),\left( 1;0 \right).$
Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& -1+a-b+c=0 \\
& c=0 \\
& 1+a+b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-1 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow f'\left( x \right)={{x}^{3}}-x\Rightarrow f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1.$
Ta có $g\left( x \right)=f\left( f'\left( x \right) \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f''\left( x \right).f'\left( f'\left( x \right) \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f''\left( x \right)=0 \\
& f'\left( f'\left( x \right) \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
& f'\left( {{x}^{3}}-3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
\end{aligned} \right., $ do đó $ f'\left( {{x}^{3}}-x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-x=0 \\
& {{x}^{3}}-x=1 \\
& {{x}^{3}}-x=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 1 \\
& x=0 \\
& x=\pm 1,325 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 7 nghiệm đơn, quan các nghiệm này thì $g'\left( x \right)$ đều đổi dấu.
Ta có $g'\left( 2 \right)=f''\left( 2 \right),f'\left( f'\left( 2 \right) \right)=35.f'\left( 6 \right)=35.210>0.$
Khi đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có 4 khoảng đồng biến.