Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$, hàm số $f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( x \right)<x+m$ ( $m$ là một số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;0 \right)$ khi và chỉ khi:
A. $m>f\left( 0 \right).$
B. $m\ge f\left( -1 \right)+1.$
C. $m>f\left( -1 \right)+1.$
D. $m\ge f\left( 0 \right).$
A. $m>f\left( 0 \right).$
B. $m\ge f\left( -1 \right)+1.$
C. $m>f\left( -1 \right)+1.$
D. $m\ge f\left( 0 \right).$
Ta có: $f\left( x \right)<x+m\Leftrightarrow f\left( x \right)-x<m.$
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x,$ ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-1.$ Với mọi $x\in \left( -1;0 \right)$ thì $-1<f'\left( x \right)<1.$
Từ đó $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-1<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( -1;0 \right).$
Suy ra $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x<f\left( -1 \right)+1.$ Yêu cầu bài toán tương đương với $m\ge f\left( -1 \right)+1.$
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x,$ ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-1.$ Với mọi $x\in \left( -1;0 \right)$ thì $-1<f'\left( x \right)<1.$
Từ đó $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-1<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( -1;0 \right).$
Suy ra $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x<f\left( -1 \right)+1.$ Yêu cầu bài toán tương đương với $m\ge f\left( -1 \right)+1.$
Đáp án B.