Cho hàm số $f\left( x \right)={{e}^{2022x}}-{{e}^{-2022x}}+{{\ln...

Có $x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}>x+\sqrt{{{x}^{2}}}=x+\left| x \right|\ge 0$ nê hàm số $f\left( x \right)={{e}^{2022x}}-{{e}^{-2022x}}+{{\ln }^{2023}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
Có $f\left( -x \right)=\ln \left( -x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=\ln \left( \dfrac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)=$ $\ln {{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{-1}}=-\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$
Vậy, $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ là:
${f}'\left( x \right)=2022.{{e}^{2022x}}+2022.{{e}^{-2022x}}+2023\dfrac{{{\ln }^{2022}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ $>\text{0}$ $\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên PT đã cho tương đương với PT:
$f\left( {{e}^{x+m}}+m \right)=-f\left( x-{{x}^{2}}-\ln {{x}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow $ $f\left( {{e}^{x+m}}+m \right)=f\left( -x+{{x}^{2}}+\ln {{x}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow $ ${{e}^{x+m}}+x+m={{x}^{2}}+\ln {{x}^{2}}$ (1)
Đặt $t=\ln {{x}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}={{e}^{t}}$
PT (1) trở thành: ${{e}^{x+m}}+x+m={{e}^{t}}+t$
Hàm số $g\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên PT (1) $\Leftrightarrow x+m=\ln {{x}^{2}}$ ĐKXĐ: $x\ne 0$.
$\Leftrightarrow $ $m=-x+\ln {{x}^{2}}=h\left( x \right)$
Có ${h}'\left( x \right)=-1+\dfrac{2}{x}$ $=\dfrac{-x+2}{x}$ ; ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
Lập bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên hàm số $h\left( x \right)$ suy ra PT đã cho có 3 nghiệm khi $m<2\ln 2-2\approx 0,614$
Do $m\in \left( -25;25 \right)$ nên suy ra $m\in \left\{ -24;-23;...;-1 \right\}$
Vậy có 24 số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.