Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right),$ đồ thị của hàm số $y=f'\left( x \right)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x \right)-4x$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{3}{2};2 \right]$ bằng
A. $f\left( 0 \right).$
B. $f\left( -3 \right)+6.$
C. $f\left( 2 \right)-4.$
D. $f\left( 4 \right)-8.$
A. $f\left( 0 \right).$
B. $f\left( -3 \right)+6.$
C. $f\left( 2 \right)-4.$
D. $f\left( 4 \right)-8.$
Cách giải:
Ta có: $g'\left( x \right)=2f'\left( 2x \right)-4$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( 2x \right)-4=0\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)=2\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)=1.$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ đề bài cho ta thấy trên $\left[ -\dfrac{3}{2};2 \right]$ đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ tại $x-0,x=2,$ trong đó $x=0$ là nghiệm kép.
Do đó $f'\left( 2x \right)=1\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1$ (không xét nghiệm kép $2x=0$ vì qua các nghiệm của phương trình này thì $g'\left( x \right)$ không đổi dấu.
Lấy $x=0$ ta có $g'\left( -1 \right)=2f'\left( -1 \right)-4>0$ do $f'\left( -1 \right)>2$
Do đó ta có bảng xét dấu $g'\left( x \right)$ trên $\left[ -\dfrac{3}{2};1 \right]$ như sau:
Với $\underset{\left[ -\dfrac{3}{2};1 \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)-4.$
Ta có: $g'\left( x \right)=2f'\left( 2x \right)-4$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( 2x \right)-4=0\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)=2\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)=1.$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ đề bài cho ta thấy trên $\left[ -\dfrac{3}{2};2 \right]$ đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ tại $x-0,x=2,$ trong đó $x=0$ là nghiệm kép.
Do đó $f'\left( 2x \right)=1\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1$ (không xét nghiệm kép $2x=0$ vì qua các nghiệm của phương trình này thì $g'\left( x \right)$ không đổi dấu.
Lấy $x=0$ ta có $g'\left( -1 \right)=2f'\left( -1 \right)-4>0$ do $f'\left( -1 \right)>2$
Do đó ta có bảng xét dấu $g'\left( x \right)$ trên $\left[ -\dfrac{3}{2};1 \right]$ như sau:
Với $\underset{\left[ -\dfrac{3}{2};1 \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)-4.$
Đáp án C.