Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x+2m}{x+2}$ ( $m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $\underset{\left[ 1 \text{;} 3 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 1 \text{;} 3 \right]}{\mathop{\text{min}}} \left| f\left( x \right) \right|=2$. Số phần tử của $S$ bằng
A. $1$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $1$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $3$.
Phương pháp:
Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ sau đó tính giá trị $f\left( x \right)$ tại hai đầu mút là $f\left( 1 \right)$ và $f\left( 3 \right).$
Xét hai trường hợp $f'\left( x \right)>0$ và $f'\left( x \right)<0$ để tìm giá trị của $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{x+2m}{x+2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2-2m}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
$f\left( 1 \right)=\dfrac{1+2m}{3};f\left( 3 \right)=\dfrac{3+2m}{5}$
TH1: $2-2m>0\Leftrightarrow m<1$
Trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có:
$\min f\left( x \right)=\dfrac{1+2m}{3};\max f\left( x \right)=\dfrac{3+2m}{5}$
+) $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2m\le 0 \\
& 3+2m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le \dfrac{-3}{2}$
Trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có:
$\min f\left( x \right)=\dfrac{-3-2m}{5};\max f\left( x \right)=\dfrac{-1-2m}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{-3-2m}{5}+\dfrac{-1-2m}{3}=2$
$\Rightarrow \dfrac{-16m}{15}=\dfrac{44}{15}\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}$
+) $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2m\ge 0 \\
& 3+2m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{1}{2}$
Tương tự trên ta có $m=1$ (loại)
+) $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2m\le 0 \\
& 3+2m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}\le m\le -\dfrac{1}{2}$
Tương tự $\left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{7}{2} \\
& m>\dfrac{-7}{8} \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{7}{2} \\
& m<-\dfrac{7}{8} \\
\end{aligned} \right.$
(loại vì không t/m đk)
TH2: $2-2m<0\Leftrightarrow m>1$
$\Rightarrow \min f\left( x \right)=\dfrac{3+2m}{5}>0;\max f\left( x \right)=\dfrac{1+2m}{3}>0$
Trong đoạn $\left[ 1;3 \right]$
$\Rightarrow \min f\left( x \right)=\dfrac{3+2m}{5};\max f\left( x \right)=\dfrac{1+2m}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{3+2m}{5}+\dfrac{1+2m}{3}=2\Leftrightarrow m=1\left( L \right)$
TH3: $2-2m=0\Leftrightarrow m=1$
Trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có:
$\min \left| f\left( x \right) \right|=1;\max \left| f\left( x \right) \right|=1$
$\Rightarrow m=1$ (thỏa mãn)
$\Rightarrow S=\left\{ -\dfrac{11}{4};1 \right\}$
Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ sau đó tính giá trị $f\left( x \right)$ tại hai đầu mút là $f\left( 1 \right)$ và $f\left( 3 \right).$
Xét hai trường hợp $f'\left( x \right)>0$ và $f'\left( x \right)<0$ để tìm giá trị của $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{x+2m}{x+2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2-2m}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
$f\left( 1 \right)=\dfrac{1+2m}{3};f\left( 3 \right)=\dfrac{3+2m}{5}$
TH1: $2-2m>0\Leftrightarrow m<1$
Trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có:
$\min f\left( x \right)=\dfrac{1+2m}{3};\max f\left( x \right)=\dfrac{3+2m}{5}$
+) $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2m\le 0 \\
& 3+2m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le \dfrac{-3}{2}$
Trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có:
$\min f\left( x \right)=\dfrac{-3-2m}{5};\max f\left( x \right)=\dfrac{-1-2m}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{-3-2m}{5}+\dfrac{-1-2m}{3}=2$
$\Rightarrow \dfrac{-16m}{15}=\dfrac{44}{15}\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}$
+) $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2m\ge 0 \\
& 3+2m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{1}{2}$
Tương tự trên ta có $m=1$ (loại)
+) $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2m\le 0 \\
& 3+2m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}\le m\le -\dfrac{1}{2}$
Tương tự $\left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{7}{2} \\
& m>\dfrac{-7}{8} \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{7}{2} \\
& m<-\dfrac{7}{8} \\
\end{aligned} \right.$
(loại vì không t/m đk)
TH2: $2-2m<0\Leftrightarrow m>1$
$\Rightarrow \min f\left( x \right)=\dfrac{3+2m}{5}>0;\max f\left( x \right)=\dfrac{1+2m}{3}>0$
Trong đoạn $\left[ 1;3 \right]$
$\Rightarrow \min f\left( x \right)=\dfrac{3+2m}{5};\max f\left( x \right)=\dfrac{1+2m}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{3+2m}{5}+\dfrac{1+2m}{3}=2\Leftrightarrow m=1\left( L \right)$
TH3: $2-2m=0\Leftrightarrow m=1$
Trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có:
$\min \left| f\left( x \right) \right|=1;\max \left| f\left( x \right) \right|=1$
$\Rightarrow m=1$ (thỏa mãn)
$\Rightarrow S=\left\{ -\dfrac{11}{4};1 \right\}$
Đáp án C.